rekkje konvergens

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

rekkje konvergens

Innlegg dahle-g » 11/04-2021 12:50

Hei!
Sliter med å forstå rekkje og konvergens.
Har to oppgåver som eg treng hjelp med
Kan nokon hjelpe meg.

Sjå nedanfor løysing av oppgåver og kva
som er mitt problem.

Oppgåve 6.92 Sigma R2 2015
Det er deloppgåve b) som eg ikkje forstår korleis eg skal løyse

Vi set

s_n = 2/(1 · 3) + 2/(2 · 4) + 2/(3 · 5) + . . . + 2/(n · (n + 2)), n ≥ 1

a) Vis ved induksjon at

s_n = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)

b) Vis at den uendelege rekkja med det n-te leddet

a_n = 1/n – 1/(n + 2), n ≥ 1 er konvergent.

Rekn ut summen.

ser at når n → ∞ går → 0 og då konverger vel rekkja

s = a_1/(1 - k), korleis finn eg verdien til a_1 og
verdien til kvotienten k?
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Re: rekkje konvergens

Innlegg jos » 11/04-2021 14:15

Hei igjen!

Rekken under b er ikke geometrisk, så det er ikke noe poeng å søke en felles kvotient. Men den er en såkalt "teleskoprekke" da den kan trekkes sammen som et teleskop.

Det ser du ved å skrive ut noen av leddene på basis av $\,a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n +2}$

$a_1 = 1 - \frac{1}{3}, a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}, a_3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}, a_4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}, a_5 = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$

Summen av de fem første leddene blir:$\,S_5 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\,$. Og summen av de n første leddene blir

$S_n = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} -\frac{1}{n + 2}\,$. Strengt tatt bør denne siste formelen bevises ved induksjon. Gjør det!

Vi ser direkte at $S_n$ konvergerer mot $ \frac{3}{2}\,$når n går mot uendelig.
jos offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 125
Registrert: 04/06-2019 11:01

Re: rekkje konvergens

Innlegg dahle-g » 11/04-2021 21:41

Sjå induksjon bevis frå y/4.
Under emnet induksjon
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Re: rekkje konvergens

Innlegg Aleks855 » 11/04-2021 21:54

jos skrev:$S_n = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} -\frac{1}{n + 2}\,$. Strengt tatt bør denne siste formelen bevises ved induksjon. Gjør det!


viewtopic.php?f=13&t=53080
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 6549
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: rekkje konvergens

Innlegg jos » 12/04-2021 01:40

Siden $a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} = \frac{2}{n\cdot (n + 2)},\,$ så vil $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n\cdot (n + 2)}\,$. Da må $ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n+2}$ og konvergere mot $\frac{3}{2}$ når n går mot uendelig.
jos offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 125
Registrert: 04/06-2019 11:01

Re: rekkje konvergens

Innlegg dahle-g » 12/04-2021 18:12

Hei!
Oppgåve 6.92 Sigma R2 2015

Då har eg fullført oppgåve utifrå den hjelpa eg har fått.

Sjå mi løysing
b) Vis at den uendelege rekkja med det n-te leddet

a_n = 1/n – 1/(n + 2), n ≥ 1 er konvergent.

s_n = 2/(1 · 3) + 2/(2 · 4) + 2/(3 · 5) + . . . + 2/(n · (n + 2)),n ≥ 1

s_n = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)

Delbrøkoppspalting:
Vi deler opp brøken i to brøkar:

2/(n · (n + 3)) = A/n + B/((n + 2))

Vi multipliserer med fellesnemnaren n · (n + 2) på begge sider:

2 = A · (n + 2) + B · n

n = 0 ⇒ 2 = A · (0 + 2) + B · 0 ⇒ 2A = 2 ⇒ A = 1
n = – 2 ⇒ 2 = A · (– 2 + 2) + B · (– 2) ⇒ – 2B = 2 ⇒ B = – 1

2/(n · (n + 3)) = A/n + B/((n + 2)) = 1/(n ) – 1/((n + 2))

Sidan a_n = 1/n – 1/(n + 2) = 2/(n · (n + 2)), så vil
■(n@∑@i=1) 1/n – 1/(n + 2) = ■(n@∑@i=1) 2/(n · (n + 2)). Då må
■(n@∑@i=1) 1/n – 1/(n + 2) = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)

Rekkja er konvergent.

Rekn ut summen.

s_n = ■(lim@n→∞) 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2) = 3/2 – 0 – 0 = 3/2

s = 3/2

Rekkja konvergerer mot summen s = 3/2.
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot] og 46 gjester