matematikk.net

Hei,

Jeg lurer på om det er flere måter å finne svaret på denne oppgaven på?

En tråd på 1 meter deles i to. Den ene benyttes for å lage en sirkel. Den andre - til å
lage et kvadrat. Hvor stor del av tråden brukes til sirkelen, og hvor stor del til
kvadratet, hvis målet er at samlet areal for de to figurene er minst mulig?

Etter å bruke prøv og feil metoden kom jeg frem til at det er kvadrat med omkrets på 56cm og sirkel med omkrets 44cm.

Er det f.eks mulig å lage til en formel slik at man ikke må sjekka alle muligheter igjennom regneark?


Takk for svar!

Sida i kvadratet: s = x cm [tex]\Rightarrow[/tex] Omkrets O[tex]_{k}[/tex] = 4 x cm

Omkrets på sirkel: O[tex]_{s}[/tex] = (100 - 4x ) cm

Radius r = [tex]\frac{O_{s}}{2 \pi }[/tex] = [tex]\frac{100 - 4x}{2\pi }[/tex] = [tex]\frac{50 - 2x}{\pi }[/tex]

Samla areal A( x ) = Areal( kvadrat ) + areal( sirkel ) = s[tex]^{2}[/tex] + [tex]\pi[/tex]r[tex]^{2}[/tex] = x[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{(50 - 2x)^{2}}{\pi }[/tex]

Arealfunksjonen A = A( x ) er ein andregradsfunksjon med botnpunkt ettersom talfaktor i x[tex]^{2}[/tex]-leddet er positiv ( > 0 ).

Minimalpunktet x = -[tex]\frac{b}{2a}[/tex]

der
a: talfaktor i x[tex]^{2}[/tex]-leddet
b: talfaktor i x-leddet.
Kan også lett finne minimalpunktet ved derivasjon.

La $a$ betegne lengden av tauet, da går $x$ deler av tauet med til å lage ett kvadrat og $a-x$ deler av tauet med til å lage sirkelen ($0 \leq x \leq a$).

Omkretsen til rektangelet er da $x$ slik at 4 like lange sider (siden kvadrat) har denne omkretsen $4s = x$ eller $s = x/4$.
Arealet til kvadratet blir dermed $A_{\square} = (x/4)^2 = x^2/16$.

Sirkelens omkrets blir tilsvarende $O = 2\pi r$ og siden $a-x$ deler av tauet går med til å lage omkretsen må $O = a-x$ slik at $r = (a-x)/(2 \pi)$. Arealet blir følgelig

$\hspace{1cm}
A_{O} = \pi r^2
= \pi \biggl( \frac{ (a-x) }{ 2\pi } \biggr)^2
= \frac{(a-x)^2}{4 \pi }, \qquad 0 \leq x \leq a
$

Det totale arealet blir dermed

$\hspace{1cm} \displaystyle
A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(a-x)^2}{4 \pi}
$

Herfra trenger du bare finne maksimum til funksjonen over via funksjonsdrøfting. Husk å brefte at løsningen din $x_0$ er slik at $0\leq x_0 \leq a$
og at $A(x_0)$ faktisk er en minimumsverdi. Dette kan man f.eks sjekke fra andrederivertetesten ved å undersøke om $A''(x_0)>0$.