En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Innlegg MatteGeir1 » 07/04-2021 13:10

Hei,

Jeg lurer på om det er flere måter å finne svaret på denne oppgaven på?

En tråd på 1 meter deles i to. Den ene benyttes for å lage en sirkel. Den andre - til å
lage et kvadrat. Hvor stor del av tråden brukes til sirkelen, og hvor stor del til
kvadratet, hvis målet er at samlet areal for de to figurene er minst mulig?

Etter å bruke prøv og feil metoden kom jeg frem til at det er kvadrat med omkrets på 56cm og sirkel med omkrets 44cm.

Er det f.eks mulig å lage til en formel slik at man ikke må sjekka alle muligheter igjennom regneark?


Takk for svar! :D
MatteGeir1 offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 07/04-2021 13:06

Re: En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Innlegg Janhaa » 07/04-2021 13:33

La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8384
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Innlegg Mattebruker » 07/04-2021 13:36

Sida i kvadratet: s = x cm [tex]\Rightarrow[/tex] Omkrets O[tex]_{k}[/tex] = 4 x cm

Omkrets på sirkel: O[tex]_{s}[/tex] = (100 - 4x ) cm

Radius r = [tex]\frac{O_{s}}{2 \pi }[/tex] = [tex]\frac{100 - 4x}{2\pi }[/tex] = [tex]\frac{50 - 2x}{\pi }[/tex]

Samla areal A( x ) = Areal( kvadrat ) + areal( sirkel ) = s[tex]^{2}[/tex] + [tex]\pi[/tex]r[tex]^{2}[/tex] = x[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{(50 - 2x)^{2}}{\pi }[/tex]

Arealfunksjonen A = A( x ) er ein andregradsfunksjon med botnpunkt ettersom talfaktor i x[tex]^{2}[/tex]-leddet er positiv ( > 0 ).

Minimalpunktet x = -[tex]\frac{b}{2a}[/tex]

der
a: talfaktor i x[tex]^{2}[/tex]-leddet
b: talfaktor i x-leddet.
Kan også lett finne minimalpunktet ved derivasjon.
Mattebruker offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 69
Registrert: 26/02-2021 21:28

Re: En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Innlegg Nebuchadnezzar » 07/04-2021 13:47

La $a$ betegne lengden av tauet, da går $x$ deler av tauet med til å lage ett kvadrat og $a-x$ deler av tauet med til å lage sirkelen ($0 \leq x \leq a$).

Omkretsen til rektangelet er da $x$ slik at 4 like lange sider (siden kvadrat) har denne omkretsen $4s = x$ eller $s = x/4$.
Arealet til kvadratet blir dermed $A_{\square} = (x/4)^2 = x^2/16$.

Sirkelens omkrets blir tilsvarende $O = 2\pi r$ og siden $a-x$ deler av tauet går med til å lage omkretsen må $O = a-x$ slik at $r = (a-x)/(2 \pi)$. Arealet blir følgelig

$\hspace{1cm}
A_{O} = \pi r^2
= \pi \biggl( \frac{ (a-x) }{ 2\pi } \biggr)^2
= \frac{(a-x)^2}{4 \pi }, \qquad 0 \leq x \leq a
$

Det totale arealet blir dermed

$\hspace{1cm} \displaystyle
A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(a-x)^2}{4 \pi}
$

Herfra trenger du bare finne maksimum til funksjonen over via funksjonsdrøfting. Husk å brefte at løsningen din $x_0$ er slik at $0\leq x_0 \leq a$
og at $A(x_0)$ faktisk er en minimumsverdi. Dette kan man f.eks sjekke fra andrederivertetesten ved å undersøke om $A''(x_0)>0$.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5646
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 13 gjester