En tråd på 1 meter deles i to, flere måter?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
MatteGeir1
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 07/04-2021 13:06

Hei,

Jeg lurer på om det er flere måter å finne svaret på denne oppgaven på?

En tråd på 1 meter deles i to. Den ene benyttes for å lage en sirkel. Den andre - til å
lage et kvadrat. Hvor stor del av tråden brukes til sirkelen, og hvor stor del til
kvadratet, hvis målet er at samlet areal for de to figurene er minst mulig?

Etter å bruke prøv og feil metoden kom jeg frem til at det er kvadrat med omkrets på 56cm og sirkel med omkrets 44cm.

Er det f.eks mulig å lage til en formel slik at man ikke må sjekka alle muligheter igjennom regneark?


Takk for svar! :D
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Sted: Grenland

La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Mattebruker
Cayley
Cayley
Innlegg: 71
Registrert: 26/02-2021 21:28

Sida i kvadratet: s = x cm Omkrets O = 4 x cm

Omkrets på sirkel: O = (100 - 4x ) cm

Radius r = = =

Samla areal A( x ) = Areal( kvadrat ) + areal( sirkel ) = s + r = x +

Arealfunksjonen A = A( x ) er ein andregradsfunksjon med botnpunkt ettersom talfaktor i x-leddet er positiv ( > 0 ).

Minimalpunktet x = -

der
a: talfaktor i x-leddet
b: talfaktor i x-leddet.
Kan også lett finne minimalpunktet ved derivasjon.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5647
Registrert: 24/05-2009 13:16
Sted: NTNU

La $a$ betegne lengden av tauet, da går $x$ deler av tauet med til å lage ett kvadrat og $a-x$ deler av tauet med til å lage sirkelen ($0 \leq x \leq a$).

Omkretsen til rektangelet er da $x$ slik at 4 like lange sider (siden kvadrat) har denne omkretsen $4s = x$ eller $s = x/4$.
Arealet til kvadratet blir dermed $A_{\square} = (x/4)^2 = x^2/16$.

Sirkelens omkrets blir tilsvarende $O = 2\pi r$ og siden $a-x$ deler av tauet går med til å lage omkretsen må $O = a-x$ slik at $r = (a-x)/(2 \pi)$. Arealet blir følgelig

$\hspace{1cm}
A_{O} = \pi r^2
= \pi \biggl( \frac{ (a-x) }{ 2\pi } \biggr)^2
= \frac{(a-x)^2}{4 \pi }, \qquad 0 \leq x \leq a
$

Det totale arealet blir dermed

$\hspace{1cm} \displaystyle
A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(a-x)^2}{4 \pi}
$

Herfra trenger du bare finne maksimum til funksjonen over via funksjonsdrøfting. Husk å brefte at løsningen din $x_0$ er slik at $0\leq x_0 \leq a$
og at $A(x_0)$ faktisk er en minimumsverdi. Dette kan man f.eks sjekke fra andrederivertetesten ved å undersøke om $A''(x_0)>0$.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Svar