Trigonometriske Likningar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Trigonometriske Likningar

Innlegg dahle-g » 04/04-2021 12:14

Hei!
Har ei likning som eg ikkje klarer å løyse.
ser ikkje korleis eg skal starte.
Veit at 1 = cos^2 + sin^2,
men ser ikkje framgangsmåten

sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1

Nokon som kan hjelpe
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Re: Trigonometriske Likningar

Innlegg Janhaa » 04/04-2021 14:22

dahle-g skrev:Hei!
Har ei likning som eg ikkje klarer å løyse.
ser ikkje korleis eg skal starte.
Veit at 1 = cos^2 + sin^2,
men ser ikkje framgangsmåten

sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1

Nokon som kan hjelpe

[tex]\sin(x)=1-2\cos(x)\\ \sin^2(x)=(1-2\cos(x))^2\\ \sin^2(x)=1-4\cos(x)+4\cos^2(x)\\ 1-\cos^2(x)=1-4\cos(x)+4\cos^2(x)\\ 5\cos^2(x)-4\cos(x)=0\\ \cos(x)\large\left(5\cos(x)-4 \right )=0\\ etc...[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8376
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Trigonometriske Likningar

Innlegg Mattebruker » 04/04-2021 15:20

Gitt likninga

[tex]\frac{sinx}{1 - 2 cosx} = 1[/tex]

To løysingar i 1. omløp ( 0 [tex]\leqslant[/tex] x [tex]<[/tex] 2[tex]\pi[/tex] )

Triviell løysing: x = [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] (sin[tex]\frac{\pi }{2}[/tex] = 1 [tex]\wedge[/tex] cos[tex]\frac{\pi }{2}[/tex] = 0 )

Ved omskriving får vi likninga

( * ) sinx + 2 cosx = 1 ( 1 - 2 cosx [tex]\neq[/tex] 0 )


Multipliser ( * ) med [tex]\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]. Da får vi

[tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] sinx + [tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex] cosx = [tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]

Innfører hjelpev. [tex]\varphi[/tex] slik at cos[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] [tex]\wedge[/tex] sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex], [tex]\varphi[/tex][tex]\in[/tex] < 0, [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] >

Likninga ( * ) kan no skrivast på forma

sin( x + 1.107 ) =[tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] ( [tex]\varphi[/tex] = cos[tex]^{-1}[/tex]( [tex]\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] ) = 1.107 )
Mattebruker offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 58
Registrert: 26/02-2021 21:28

Re: Trigonometriske Likningar

Innlegg dahle-g » 05/04-2021 08:25

Tusen takk for super hjelp
Har fullført oppgåva med hjelpa frå begge to tipsa.
Sjå begge løysingane nedanfor.

j) Finn summen av rekkja.

s (x) = a_1/(1-k) = sin⁡x/(1-2 cos⁡x )

Løys likninga s (x) = 1.

sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1

sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1 │· (1-2 cos⁡〖x)〗
sin x = 1 – 2 cos x cos x ≠0
(sin⁡x )^2 = (1 – 2 cos x )^2
sin^2 x = 1 – 4cos x + 4 cos^2 x
1 – cos^2 x = 1 – 4 cos x + 4 cos^2 x sin^2 x = 1 – cos^2 x
4 cos^2 x + cos^2 x – 4 cos x + 1 – 1 = 0
5 cos^2 x – 4 cos x = 0
cos x (5 cos⁡x-4) = 0

cos x = 0 x = cos – 1 (0) = π/2

x = π/2 + n · 2 π ˅ x = – π/2 + n · 2 π
x = π/2 + 0 · 2 π ˅ x = – π/2 + 1 · 2 π
x = π/2 ˅ x = 3π/2

5 cos x – 4 = 0
cos x = 4/5 x = cos – 1 (4/5) = 0,644

x = 0,644 + n · 2 π ˅ x = – 0,644 + n · 2 π
x = 0,644 + 0 · 2 π ˅ x = – 0,644 + 1 · 2 π
x = 0,644 ˅ x = 5,639

Når vi kvadrere på begge sider av likhetstegnet. Det kan generere falske løysningar derfor må ein ALLTID sette prøve på svara.

x = π/2: sin x = 1 – 2 cos x

V.S: sin π/2 = 1
H.S: 1 – 2 cos π/2 = 1 – 2 · 0 = 1
V. S = H.S

x = π/2 er løysing

x = 3π/2: sin x = 1 – 2 cos x

V.S: sin 3π/2 = – 1
H.S: 1 – 2 cos 3π/2 = 1 – 2 · 0 = 1
V. S ≠ H. S

x = 3π/2 er ikkje løysing

x = 0,644: sin x = 1 – 2 cos x

V.S: sin 0,644 = 0,600
H.S: 1 – 2 cos 0,644 = 1 – 2 · 0,800 = – 0,600
V. S ≠ H. S

x = 3π/2 er ikkje løysing

x = 5,639: sin x = 1 – 2 cos x

V.S: sin 5,639 = – 0,600
H.S: 1 – 2 cos 5,639 = 1 – 2 · 0,800 = – 0,600
V. S = H. S

x = 5,640 er løysing

x ∈ {π/2,5,640}

Alternativ løysing
j) Finn summen av rekkja.

S (x) = a_1/(1-k) = sin⁡x/(1-2 cos⁡x )

Løys likninga s (x) = 1.

Sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1

sin⁡x/(1-2 cos⁡x ) = 1 │· (1-2 cos⁡〖x)〗 cos x ≠0
sin x = 1 – 2 cos x
sin x + 2 cos x = 1 x ∈ [0,┤ ├ 2π⟩

Vi gjer om til eit sinusuttrykk og løyser likninga vi får.

Vi finn A:

A = √(a^2+ b^2 ) = √(〖(1)〗^2+ 〖(2)〗^2 ) = √(1+ 4) = √5

Vi teiknar ein figur.
Vi ser at φ ligg i første kvadrant, φ ∈ [0, ├ ( π)/2⟩.

Så finn vi φ.

Vi løyser tangenslikninga

tan φ = b/a = 2/1 = 1,107
φ = 1,107 + n · π

Sidan (a, b) = (1, 2) ligg i første kvadrant får vi:

φ = 1,107 + 0 · π
φ = 1,107
Då får vi omskrivinga:

sin x + 2 cos x = √5 sin (x + 1,107).

Løysinga til likninga blir no

√5 sin (x + 1,107) = 1
sin (x + 1,107) = 1/√5 x = sin – 1 (1/√5) = 0,464
x + 1,107 = 0,464 + n · 2π ˅ x + 1,107 = π – 0,464 + n · 2π
x = 0,464 – 1,107 + n · 2π ˅ x = π – 0,464 – 1,107 + n · 2π
x = – 0,643 + n · 2π ˅ x = π – 0,464 – 1,107 + n · 2π
x = – 0,643 + 1 · 2π ˅ x = π/2 + 0 · 2π x ∈ [0,┤ ├ 2π⟩
x = 5,640 ˅ x = π/2

x ∈ {π/2,5,640}
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 22 gjester