matematikk.net

Hei! Jeg prøver å regne ut unnslipningshastigheter (escape velocity) til et svart hull for å bevise at den er lik lysets hastighet, men er litt usikker på om jeg gjør det riktig.

jeg bruker denne formelen: v = √(2GM/r) der,
v = unnslipningshastigheten
G = gravitasjonskraften (9,81 m/s2 = 6,67 · 10^-11 m3/kg s2)
M = kulens masse
r = kulens radius (avstand fra gravitasjonssenteret)

Jeg regner ført ut den kritiske radien (Schwarzchild-radien) til det svarte hullet og bruker et eksempel der det svarte hullet har en masse som er 3 ganger solens masse (altså 3 solmasser). Har lest at man kan regne ut den kritiske radien ved å ta massen i solmasser og multiplisere det med 3.

r = 3 * 3 = 9km = 9000 m

v = √(2GM/r) = √(2 * 6,67 · 10^-11 * (3 * 1,9891×10^30))/9000 = 297403171 m/s = ca 3*10^8 m/s

Gjør jeg dette riktig? Er usikker på om jeg skal bruke den kritiske radien til dette eller ikke, men jeg får jo omtrent lysets hastighet som svar.

Takker på forhånd!

MattehjelpR1 skrev:Hei! Jeg prøver å regne ut unnslipningshastigheter (escape velocity) til et svart hull for å bevise at den er lik lysets hastighet, men er litt usikker på om jeg gjør det riktig.

jeg bruker denne formelen: v = √(2GM/r) der,
v = unnslipningshastigheten
G = gravitasjonskraften (9,81 m/s2 = 6,67 · 10^-11 m3/kg s2)
M = kulens masse
r = kulens radius (avstand fra gravitasjonssenteret)

Jeg regner ført ut den kritiske radien (Schwarzchild-radien) til det svarte hullet og bruker et eksempel der det svarte hullet har en masse som er 3 ganger solens masse (altså 3 solmasser). Har lest at man kan regne ut den kritiske radien ved å ta massen i solmasser og multiplisere det med 3.

r = 3 * 3 = 9km = 9000 m

v = √(2GM/r) = √(2 * 6,67 · 10^-11 * (3 * 1,9891×10^30))/9000 = 297403171 m/s = ca 3*10^8 m/s

Gjør jeg dette riktig? Er usikker på om jeg skal bruke den kritiske radien til dette eller ikke, men jeg får jo omtrent lysets hastighet som svar.

Takker på forhånd!

Hei, interessant spørsmål! Konseptet svart hull ble først teoretisk beskrevet fordi man tenkte seg at det kan finnes objekter hvor ingenting, ikke engang lys, kan slippe ut av tyngdefeltet. Den kritiske radien (Schwarzchild-radien), er per definisjon radien hvor ikke engang lys kan slippe unna, det vil si at unnslippningshastiheten er lysfarten.

Når vi ser på eksempeler som dette med ekstreme tyngedefelt og hastigheter, bryter Newtons lover totalt sammen, og vi må ta med effekter fra spesiell og generell relativitetsteori. Likevel viser det seg at for akkurat beregningen av unnslippningshastighet blir formelen [tex]v = \sqrt{2GM/r}[/tex] (utrolig nok) fortsatt riktig. Det er likevel verdt å merke seg at unnslippningshastihet fungerer anerledes for et svart hull. Dersom man er i tyngedelftet til Jorden, kan man helt fint slippe unna uten å oppnå unnslippningshastigheten så lenge man tilfører energi på veien (for eksempel holder jevn fart). Dette er ikke tilfelle for et svart hull, da trenger å bevege seg med lyets hastighet radielt utover, og dersom man befunner seg lengre inn enn den kritiske raiden, er det fullstendig umulig å slippe ut.

At man kan regne ut den kritiske radien ved å benytte solmassen er så klart kun en tilnærming (solen er jo kun en "tilfeldig stjerne"). Dersom man kjenner massen til et sort hull, skal man kunne regne ut kristisk radius slik: [tex]\frac{2GM}{c^2}[/tex], siden vi her har definert denne radiusen til å være der hvor unnslippningshastigheten er lysfarten. Siden dette er en definisjon, er det egentlig tilnærmingen med solmasser som du verifiserer, og denne ser ut til å være ganske god.