Delvis integrasjon

[ddybing]

Hei!

Vi har nettopp startet på integrasjon i forkurset her, og jeg sliter litt med å forstå enkelte av oppgavene, da spesielt oppgaver hvor to faktorer ganges sammen, slik som [tex]\int (ln2 \cdot 2^x + ln3 \cdot 3^x)[/tex].

Etter hva jeg har forstått så kan jeg bruke formelen "delvis integrasjon" som jeg finner i formelheftet vårt, skrevet slik: [tex]\int (u' \cdot v )dx = u \cdot v - \int (u \cdot v')dx[/tex]

Jeg har forsøkt å bruke denne formelen på det første leddet i oppgaven overfor, og da får jeg noe slikt [tex]\int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^x) = u \cdot v - \int (ln2 \cdot 2^x \cdot ln2)[/tex]
Og så tenker jeg at jeg da kan flytte over leddet helt til høyre over til venstre siden, men så står jeg litt fast. Kan jeg spørre om litt hjelp til hvordan man skal gå fremover her?


Vi har bare hatt èn forelesning foreløpig - og grunnet kun digital undervisning som det er for øyeblikket så har vi ikke hatt noen øvingstimer enda hvor jeg har fått spurt om dette. Så jeg hadde blitt veldig takknemlig for et svar

[Kay]

Hei!

Vi har nettopp startet på integrasjon i forkurset her, og jeg sliter litt med å forstå enkelte av oppgavene, da spesielt oppgaver hvor to faktorer ganges sammen, slik som [tex]\int (ln2 \cdot 2^x + ln3 \cdot 3^x)[/tex].

Etter hva jeg har forstått så kan jeg bruke formelen "delvis integrasjon" som jeg finner i formelheftet vårt, skrevet slik: [tex]\int (u' \cdot v )dx = u \cdot v - \int (u \cdot v')dx[/tex]

Jeg har forsøkt å bruke denne formelen på det første leddet i oppgaven overfor, og da får jeg noe slikt [tex]\int (\frac{1}{ln2} \cdot 2^x) = u \cdot v - \int (ln2 \cdot 2^x \cdot ln2)[/tex]
Og så tenker jeg at jeg da kan flytte over leddet helt til høyre over til venstre siden, men så står jeg litt fast. Kan jeg spørre om litt hjelp til hvordan man skal gå fremover her?


Vi har bare hatt èn forelesning foreløpig - og grunnet kun digital undervisning som det er for øyeblikket så har vi ikke hatt noen øvingstimer enda hvor jeg har fått spurt om dette. Så jeg hadde blitt veldig takknemlig for et svar

Her er det fullstendig overkill å bruke delvis integrasjon, først og fremst fordi leddene som multipliseres sammen er en variabel og en konstant. Husk regelen

[tex]\int af(x)dx=a\int f(x)dx, \ \ a \in \mathbb{R}[/tex]

Husk også at du kan splitte integralet i to integraler siden det er en sum av to funksjoner.

[tex]\int (ax+bx)dx=\int axdx+\int bxdx[/tex]

Slik at vi får

[tex]\int (\ln2\cdot 2^x+\ln 3\cdot 3^x)dx=\int \ln2\cdot 2^xdx + \int \ln3 \cdot 3^xdx=\ln 2\int 2^xdx+\ln3 \int 3^xdx=\frac{\ln2}{\ln2}2^x+c_1+\frac{\ln3}{\ln3}3^x+c_2=2^x+3^x+C[/tex]

Her er det tatt for gitt at du vet at [tex]\int a^x=\frac{1}{\ln(a)}a^x[/tex]

Dette kan vises ved hjelp av en av de mest grunnleggende integralene. Nemlig at [tex]\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C[/tex], vi biter oss merke i at

[tex]\int a^xdx=\int e^{\ln(a^x)}dx=\int e^{x\ln(a)}dx=\frac{1}{\ln(a)}e^{x\ln(a)}+C=\frac{1}{\ln(a)}e^{\ln(a^x)}+C=\frac{a^x}{\ln(a)}+C[/tex]

[Aleks855]

Et alternativ er også at dersom man har derivert funksjoner på formen $a^x$ før, så kjenner man kanskje igjen at $(a^x)' = a^x \ln(a)$, og derfor at $\int 2^x\ln(2) \mathrm dx = 2^x + C$ samt tilsvarende for $3^x\ln(3)$.

[ddybing]

Tusen takk for svar! Jeg syntes det ble veldig tungvint, men da var det bare jeg som gjorde det vanskelig for meg selv ved å bruke en mer avansert formel. Ja, [tex]\int (ax+bx)dx=\int axdx+\int bxdx[/tex] har jeg kontroll på

Bare for å teste at jeg har forstått det, da vil f.eks [tex]\int (3 \cdot 2^x)dx[/tex] kunne skrives slik:
[tex]\int (3 \cdot 2^x)dx = 3\int (2^x)dx = 3 (\frac{1}{ln2} \cdot 2^x +C) = \frac{3 \cdot 1 }{ln2} \cdot 2^x + C = \frac{3}{ln2} \cdot 2^x + C[/tex] ?

[Kay]

Tusen takk for svar! Jeg syntes det ble veldig tungvint, men da var det bare jeg som gjorde det vanskelig for meg selv ved å bruke en mer avansert formel. Ja, [tex]\int (ax+bx)dx=\int axdx+\int bxdx[/tex] har jeg kontroll på

Bare for å teste at jeg har forstått det, da vil f.eks [tex]\int (3 \cdot 2^x)dx[/tex] kunne skrives slik:
[tex]\int (3 \cdot 2^x)dx = 3\int (2^x)dx = 3 (\frac{1}{ln2} \cdot 2^x +C) = \frac{3 \cdot 1 }{ln2} \cdot 2^x + C = \frac{3}{ln2} \cdot 2^x + C[/tex] ?

Stemmer

[ddybing]

Tusen takk for svar! Jeg syntes det ble veldig tungvint, men da var det bare jeg som gjorde det vanskelig for meg selv ved å bruke en mer avansert formel. Ja, [tex]\int (ax+bx)dx=\int axdx+\int bxdx[/tex] har jeg kontroll på

Bare for å teste at jeg har forstått det, da vil f.eks [tex]\int (3 \cdot 2^x)dx[/tex] kunne skrives slik:
[tex]\int (3 \cdot 2^x)dx = 3\int (2^x)dx = 3 (\frac{1}{ln2} \cdot 2^x +C) = \frac{3 \cdot 1 }{ln2} \cdot 2^x + C = \frac{3}{ln2} \cdot 2^x + C[/tex] ?

Stemmer

Topp, tusen takk igjen for hjelp. Nå gikk de andre oppgavene mye greiere her når jeg hadde "grunnlaget" jeg trengte.