Differensiallikningar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Differensiallikningar

Innlegg geil » 01/01-2021 13:20

Hei!
Har løyst oppgåve 7.27 Sigma R2 2015 s 285.
True eg har fått til a) og b) Har ikkje lagt med grafen.
Det er oppgåve c eg er usikker på korleis den skal løysast.
Er det nokon som kan hjelpe meg her.
Sjå løysinga nedanfor.

Oppgåve 7.27
a) Løys differensiallikninga y ʹʹ + 0,2y ʹ + 1,01y = 0, når y (0) = 10 og y ʹ (0) = 1.
b) Teikn grafen til løysingskurva for x ∈ [0, 4π].
c) Vis at forholdet mellom y-verdiane til topp- og botnpunkt er – e^(- 0,1π) ≈ – 0,73

a) Løys differensiallikninga y ʹʹ + 0,2y ʹ + 1,01y = 0, når y (0) = 10 og y ʹ (0) = 1.

Differensiallikninga y ʹʹ + by ʹ + cy = 0

har den karakteristiske likninga r^2 + br + c = 0

Løysinga er r =(- b ± √(b^2-4c))/2

Den karakteristiske likninga er r^2 + 0,2 · r + 1,01 = 0. Med løysinga

r = (-b ± √(b^2-4c))/2 = (- 0,2 ± √(〖(0,2)〗^2- 4 · 1,01))/2 = (- 0,2 ± √(0,04 – 4,04))/2 = (- 0,2)/2 ± √(- 4)/2
= – 0,1 ± (√(- 1) · √4)/2 = – 0,2 ± (√(- 1) · 2)/2 = – 0,1 ± 1 · √(- 1) = – 0,1 ± ὶ

Den karakteristiske likninga har ingen reelle løysingar, men to komplekse løysingar r = p ± qi
løysinga til differensiallikninga blir y = e^px·(A sin⁡〖qx+〗 B cos⁡qx )

Den fullstendige løysinga:

p = – 0,1
q = 1

y = e^(- 0,1x)·(A sin⁡〖x+〗 B cos⁡x )

b) Vi set inn i y og får:

y (0) = 10
e^(- 0,1x)·(A sin⁡〖x+〗 B cos⁡x ) = 10
e^(- 0,1 · 0)·(A sin⁡〖0+〗 B cos⁡0 ) = 10
e^0 · (A · 0 + B · 1) = 10
1 · (0 + B) = 10
B = 10

Vi deriver y
y ʹ = (e^(- 0,1x)·(A sin⁡〖x+〗 B cos⁡x ))^( ʹ)
= (e^(- 0,1x)·A sin⁡x +e^(- 0,1x)·B cos⁡x )^( ʹ)
= – 0,1 e^(- 0,1x) ·A sin⁡x + e^(- 0,1x)·A cos⁡x – 0,1 e^(- 0,1x) ·B cos⁡x – e^(- 0,1x)·B sin⁡x

Vi set inn i y ʹ og får:
y ʹ (0) = 1

– 0,1e^(- 0,1x) ·A sin⁡x + e^(- 0,1x)·A cos⁡x – 0,1 e^(- 0,1x) ·B cos⁡x – e^(- 0,1x)·B sin⁡x = 1
– 0,1e^(- 0,1 ·0) ·A sin · 0 + e^(- 0,1 ·0)·A 〖cos · 〗⁡1 – 0,1 e^(- 0,1 · 0) ·B cos⁡〖 ·0〗 – e^(- 0,1 · 0)·B sin⁡〖 ·0〗 = 1
– 0,1 · e^0 ·A ·0 + e^0·A ·1 – 0,1 · e^0 ·B ·1 – e^0·B ·0 = 1
- 0,1 · 1 ·0 + 1 ·A ·1 – 0,1 · 1 ·B ·1 – 1·B ·0 = 1
A – 0,1B = 1
A = 1 + 0,1B

A = 1 + 0,1 · 10
A = 1 + 1
A = 2

y = e^(- 0,1x)·(A sin⁡〖x+〗 B cos⁡x )

y = e^(- 0,1x)·(2·sin⁡〖x+〗 10·cos⁡x )

y =2 e^(- 0,1x)· sin x + 10e^(- 0,1x) · cos⁡x

b) Teikn grafen til løysingskurva for x ∈ [0, 4π].

c) Vis at forholdet mellom y-verdiane til topp- og botnpunkt er e^(- 0,1 · π) ≈ 0,73

For å rekne ut ekstremalpunkta finn vi y ʹ (x)

y ʹ = (2e^(- 0,1x)· sin x + 10e^(- 0,1x) · cos⁡x )^( ʹ)
= – 0,1 · 2 · e^(- 0,1x) · sin x + 2 · e^(- 0,1x) · cos x – 0,1 · 10 · e^(- 0,1x)·cos⁡x – 10e^(- 0,1x)·sin⁡x

y ʹ = 0
– 0,2e^(- 0,1x)· sin x + 2e^(- 0,1x)· cos x – e^(- 0,1x)·cos⁡x – 10e^(- 0,1x)·sin⁡x = 0 │· 1/(e^(- 0,1x) · cos x) cos x ≠ 0
(– 0,2e^(- 0,1x) · sin x )/(〖 e〗^(- 0,1x) · cos x) + (2e^(- 0,1x) · cos x )/(e^(- 0,1x) · cos x) – (e^(- 0,1x) · cos x )/
(e^(- 0,1x) · cos x) – (10 · sin x )/(e^(- 0,1x) · cos x) = 0
– 0,2 tan x + 2 – 1 –10 tan x = 0 ⇒ – 10,2 tan x = – 1 ⇒ – 10,2 tan x = 1/10,2
tan x = 0,098 x = tan^(- 1) (0,098) ≈ 0,0977

Det digitale verktøyet gir no det første toppunktet:
X ≈ 0,0977
y (0,0977) = 2e^(- 0,1 ·0,0977)· sin 0,0977 + 10e^(- 0,1 · 0,0977) · cos⁡0,0977
= 0,1931 + 9,8556 = 10,0487
Vi kan vise at dette er eit toppunkt.
f (0,0677) ʹ = – 0,2e^(- 0,1x) · sin x + 2e^(- 0,1x) · cos x – e^(- 0,1x)·cos⁡x – 10e^(- 0,1x)·sin⁡x ≈ 0,3056
f (0,0977) ʹ = – 0,2e^(- 0,1x) · sin x + 2e^(- 0,1x) · cos x – e^(- 0,1x)·cos⁡x – 10e^(- 0,1x)·sin⁡x≈ 0
f (0,1277) ʹ = – 0,2e^(- 0,1x) · sin x + 2e^(- 0,1x) · cos x – e^(- 0,1x)·cos⁡x – 10e^(- 0,1x)·sin⁡x ≈ – 0,3032

Den deriverte er positive fram til første nullpunkt og grafen er dermed aukande. Den
deriverte er negativ etter første nullpunkt og grafen er dermed minkande. Vi har då eit
toppunkt i (0,0977, 10,0487).

Likninga tan x = 0,098 gir x = 0,0977 + n · π.
Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.
Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får botnpunkt anna kvar gong , det vil seie for
n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = 0,0977 + (k · 2π), der k = 0, 1 , 2, ….
Botnpunkta er då definerte ved x = 0,0977 + π + (k · 2π), der k = 0, 1 , 2, ….
Vi har sin (0,0977 + k · 2π) = sin 0,0977.
Forholdet mellom y-verdiane til topp- og botnpunkt blir då

(f(x))/(f(x + π)) = (- 0,2e^(- 0,1 (0,0977)))/〖- 0,2〗e ^(- 0,1 (0,0977+ π)) = e^(- 0,1(0,0977) ) ·〖e 〗^(- 0,1 (-0,0977 + π))
= - e^(- 0,1 (0,0977 - 0,0977 + π) )
= - e^(- 0,1 · π )

Alternativ løysing:

k = (- 0,2e^(- 0,1 (0,0977 + k · 2π)))/〖- 0,2e 〗^(- 0,1 (0,0977 + π + (k · 2π)) )
= - e^(- 0,1(0,0977 + k · 2π ) ) · 〖e 〗^(- 0,1 (-0,0977 + π -(k · 2π)) )
= -e^(- 0,1 (0,0977 + k · 2π - 0,0977 - k · 2π + π) )
= -e^(- 0,1 · π )
geil offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 40 gjester