Hei!
I eksempel 16 s 283 i Sigma R2 2015
vel ein n = 2 og får u ʹʹ · x^4 + 2x^3 · u ʹ = 0
når eg vel n = 1 får eg u ʹʹ · x^3 = 0
korleis kjem ein vidare her
Differensiallikningar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Føler jeg kunne hjulpet deg, men jeg har ikke boka. Kanskje andre som har reist fra den i jula også.
-
josi
Del på x^3 og løs differentialikningen u´´ = 0geil skrev:Hei!
I eksempel 16 s 283 i Sigma R2 2015
vel ein n = 2 og får u ʹʹ · x^4 + 2x^3 · u ʹ = 0
når eg vel n = 1 får eg u ʹʹ · x^3 = 0
korleis kjem ein vidare her
-
geil
Takk for tipset fikk brukt det nedanfor:
Oppgåve 7.25 Sigma R2 2015 er den same som
eksempel 16 s 283 Sigma R2 2015.
I oppgåve 7.25 vel n = 1 og får brukt tipset,
medan ein i eksempelet 16 vel n = 2.
Sjå nedanfor løysinga på oppgåve 7.25
NB! Vel n = 1
Løys likninga x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
Set y_0 = x^n.
Vi deriverer y_0 og får:
y_0 = x^n
y_0 ʹ = (x^n )^( ʹ) = nx^(n -1)
y_0 ʹʹ = (nx^(n -1) )^( ʹ) = (n – 1) · nx^((n -1)-1) = n(n – 1) · x^(n -2)
Vi set inn i differensiallikninga og får
x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
x^2 · (n(n- 1) · x^(n -2)) – 2x · (n · x^(n -1)) + 2(x^n) = 0
x^2 · (n(n - 1) · x^n · x^(- 2)) – 2x1 · (n · x^n · x^(-1)) + 2(x^n) = 0
x^(2 -2) · (n(n - 1) · x^n) – 2x^( 1 -1) · (n · x^n) + 2(x^n) = 0
x^0 · n(n - 1) · x^n – 2x^( 0) · n · x^n + 2x^n = 0
1 · n(n - 1) · x^n – 2 · 1 · n · x^n + 2x^n = 0
n(n - 1) · x^n - 2 · n · x^n + 2 · x^n = 0
x^n · (n(n - 1)-2n +2) = 0
x^n · (n^2 -n-2n +2) = 0
x^n · (n^2-3n +2) = 0
Løyser likninga og får:
n^2-3n +2 = 0
n = 1 eller n = 2
Vi vel n = 1
Vi set y = u · y_0 = u · x1 og deriverer ved hjelp av produktregelen:
y = u · x
y ʹ = u ʹ · x + u · 1
y ʹʹ = u ʹʹ · x + u ʹ · 1 + u ʹ · 1 + u · 0 = x · u ʹʹ + 2u ʹ
Vi set inn i differensiallikninga og reknar ut:
x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
x^2 · (x · u ʹʹ + 2u ʹ) – 2x · (u ʹ · x + u ) + 2(u · x) = 0
x^3 · u ʹʹ + 2x^2 · u ʹ – 2x^2 · u ʹ – 2x · u + 2x · u = 0
u ʹʹ · x^3 = 0
u ʹʹ · x^3 = 0 │: x^3
u ʹʹ = 0
Likninga u ʹʹ = 0 er eit spesialtilfelle av likninga u ʹʹ – k^2y = 0 når k = 0. Vi har då
u ʹʹ = 0
u = Ax + B … y = u · x
y = (Ax + B) · x
y = Ax^2 + Bx
Dette er også svaret oppgitt i fasiten
Oppgåve 7.25 Sigma R2 2015 er den same som
eksempel 16 s 283 Sigma R2 2015.
I oppgåve 7.25 vel n = 1 og får brukt tipset,
medan ein i eksempelet 16 vel n = 2.
Sjå nedanfor løysinga på oppgåve 7.25
NB! Vel n = 1
Løys likninga x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
Set y_0 = x^n.
Vi deriverer y_0 og får:
y_0 = x^n
y_0 ʹ = (x^n )^( ʹ) = nx^(n -1)
y_0 ʹʹ = (nx^(n -1) )^( ʹ) = (n – 1) · nx^((n -1)-1) = n(n – 1) · x^(n -2)
Vi set inn i differensiallikninga og får
x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
x^2 · (n(n- 1) · x^(n -2)) – 2x · (n · x^(n -1)) + 2(x^n) = 0
x^2 · (n(n - 1) · x^n · x^(- 2)) – 2x1 · (n · x^n · x^(-1)) + 2(x^n) = 0
x^(2 -2) · (n(n - 1) · x^n) – 2x^( 1 -1) · (n · x^n) + 2(x^n) = 0
x^0 · n(n - 1) · x^n – 2x^( 0) · n · x^n + 2x^n = 0
1 · n(n - 1) · x^n – 2 · 1 · n · x^n + 2x^n = 0
n(n - 1) · x^n - 2 · n · x^n + 2 · x^n = 0
x^n · (n(n - 1)-2n +2) = 0
x^n · (n^2 -n-2n +2) = 0
x^n · (n^2-3n +2) = 0
Løyser likninga og får:
n^2-3n +2 = 0
n = 1 eller n = 2
Vi vel n = 1
Vi set y = u · y_0 = u · x1 og deriverer ved hjelp av produktregelen:
y = u · x
y ʹ = u ʹ · x + u · 1
y ʹʹ = u ʹʹ · x + u ʹ · 1 + u ʹ · 1 + u · 0 = x · u ʹʹ + 2u ʹ
Vi set inn i differensiallikninga og reknar ut:
x^2 · yʹʹ – 2x · y ʹ + 2y = 0
x^2 · (x · u ʹʹ + 2u ʹ) – 2x · (u ʹ · x + u ) + 2(u · x) = 0
x^3 · u ʹʹ + 2x^2 · u ʹ – 2x^2 · u ʹ – 2x · u + 2x · u = 0
u ʹʹ · x^3 = 0
u ʹʹ · x^3 = 0 │: x^3
u ʹʹ = 0
Likninga u ʹʹ = 0 er eit spesialtilfelle av likninga u ʹʹ – k^2y = 0 når k = 0. Vi har då
u ʹʹ = 0
u = Ax + B … y = u · x
y = (Ax + B) · x
y = Ax^2 + Bx
Dette er også svaret oppgitt i fasiten