Differensiallikningar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Differensiallikningar

Innlegg geil » 26/12-2020 08:46

Hei!
Har ei oppgåve 7.17 Sigma R2 2015
a) Vis at r = 3 og r = – 1 er ei løysing til den karakteristiske likninga.
b) Set y = u · e^3x. Vis at det gir u ʹʹ – 4u ʹ = 0
c) Finn u og deretter løysinga y.
Sjå mi løysing nedanfor.
Er det slik ein løyser denne oppgåva og er det riktig.
På del c) står det finn u og deretter løysinga til y er det nokon anna måte å finne u på
utan gå vegen om at Når b^2- 4c > 0 har den karakteristiske likninga i dette tilfellet to reelle løysingar, r_1 og r_2.
Løysinga til differensiallikninga kan skrivast

y = A · e^(r_1 x) + B · e^(r_2 x)

Oppgåve 7.17
Vi har likninga y ʹʹ – 2y ʹ – 3y = 0

a) Vis at r = 3 og r = – 1 er ei løysing til den karakteristiske likninga.

Karakteristisk likning:
r^2 + br + c = 0
r^2 – 2r – 3 = 0

Løysinga til den karakteristiske likninga er
r =(- b ± √(b^2-4c))/2
r =(- (-2) ± √(〖(-2)〗^2 - 4 ·(-)))/2 =(2 ± √(4 + 12))/2 = 2/2 ± √16/2 = 1 ± 4/2 = 1 ± 2
r_1 = 1 + 2 = 3 og r_1 = 1 – 2 = – 1

b) Set y = u · e^3x. Vis at det gir u ʹʹ – 4u ʹ = 0

y = u · e^3x
y ʹ = (u · e^3x )^( ʹ) = u ʹ · e^3x + u · 3e^3x
y ʹʹ = = (u ʹ · e^3x + u · 3e^3x )^( ʹ) = u ʹʹ · e^3x + u ʹ · 〖3e〗^3x + u ʹ · 〖3e〗^3x + u · 9e^3x

(u ʹʹ·e^3x+u ʹ·〖3e〗^3x+u ʹ·〖3e〗^3x+u·9e^3x ) – 2(u ʹ·e^3x+u·3e^3x ) – 3(u · e^3x ) = 0
(u ʹʹ+3u ʹ+3u ʹ+9·u) · e^3x – 2(u ʹ+3·u) · e^3x – 3(u) · e^3x = 0 │ : e^3x
u ʹʹ+6u ʹ+9u – 2u ʹ-6u – 3u = 0
u ʹʹ+6u ʹ – 2u ʹ+9u -6u – 3u = 0
u ʹʹ+4u ʹ = 0

c) Finn u og deretter løysinga y.

y = u · e^3x
u = y/e^3x = (A · e^3x + B · e^(- x))/e^3x = A·e^3x·e^(- 3x)+ B·e^(- x)· e^(- 3x) = A·e^(3x -3x )+B·e^(- x -3x)
= A·e^0+B·e^( - 4x ) = A+Be^( - 4x )

Når b^2- 4c > 0 har den karakteristiske likninga i dette tilfellet to reelle løysingar, r_1 og r_2. Løysinga til
differensiallikninga kan skrivast

y = A · e^(r_1 x) + B · e^(r_2 x)
y = A · e^3x + B · e^(- x)
geil offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester