Hvordan kan jeg se at 1 er et dobbelt nullpunkt bare ved å se på grafen? Vil det alltid være slik at for tredjegradsfunksjoner som ikke har tre nullpunkter at det nullpunktet hvor grafen bare tangerer x-aksen er det doble nullpunktet?
Tredjegradsfunksjoner og nullpunkt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Sapolsky
Hei. På følgende graf
Hvordan kan jeg se at 1 er et dobbelt nullpunkt bare ved å se på grafen? Vil det alltid være slik at for tredjegradsfunksjoner som ikke har tre nullpunkter at det nullpunktet hvor grafen bare tangerer x-aksen er det doble nullpunktet?
Hvordan kan jeg se at 1 er et dobbelt nullpunkt bare ved å se på grafen? Vil det alltid være slik at for tredjegradsfunksjoner som ikke har tre nullpunkter at det nullpunktet hvor grafen bare tangerer x-aksen er det doble nullpunktet?
-
Mattebruker
...... " hvor grafen tangerer x-aksen er det doble nullpunktet " ?
Heilt korrekt og GOD JUL !
Heilt korrekt og GOD JUL !
For ordens skyld kan man bevise at en tredjegradsfunksjon tangerer x-aksen hvis og bare hvis funksjonen har et nullpunkt av multiplisitet >1, slik:
Bevis: Anta $f(x)=k(x-a)(x-b)^2$ har et dobbelt nullpunkt i $x=b$. Da er $f'(x)=k(x-b)^2+2k(x-a)(x-b)$, så $f'(b)=0$, som betyr at grafen til $f$ tangerer x-aksen i $x=b$.
Motsatt vei, anta at $f$ (en 3-gradsfunksjon på generell form $f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)$) tangerer x-aksen i $x=b$ og at $x=a$ er et annet (om mulig det samme) nullpunkt. Da er $f(a)=f(b)=f'(b)=0$.
Nå er $f'(x)=k((x-b)(x-c)+(x-a)(x-b) + (x-a)(x-c))$. Innsatt for $x=b$ fås $0=k(b-a)(b-c)$, som betyr at enten $a=b$ eller $c=b$, så funksjonen har et dobbelt (eller eventuelt trippelt) nullpunkt.
Bevis: Anta $f(x)=k(x-a)(x-b)^2$ har et dobbelt nullpunkt i $x=b$. Da er $f'(x)=k(x-b)^2+2k(x-a)(x-b)$, så $f'(b)=0$, som betyr at grafen til $f$ tangerer x-aksen i $x=b$.
Motsatt vei, anta at $f$ (en 3-gradsfunksjon på generell form $f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)$) tangerer x-aksen i $x=b$ og at $x=a$ er et annet (om mulig det samme) nullpunkt. Da er $f(a)=f(b)=f'(b)=0$.
Nå er $f'(x)=k((x-b)(x-c)+(x-a)(x-b) + (x-a)(x-c))$. Innsatt for $x=b$ fås $0=k(b-a)(b-c)$, som betyr at enten $a=b$ eller $c=b$, så funksjonen har et dobbelt (eller eventuelt trippelt) nullpunkt.