R2 matte

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
R2-elev

Hei,

jeg løste en oppgave, men er det riktig at:
(2sinx*cosx*cosx(sinx)^3) /(cosx)^2

er lik sinx?

PS: Skal derivere rasjonale funksjonen f(x) = ((sinx)^x)/cosx for å finne ekstremalpunkter.

Men er det riktig at:
(2sinx*cosx*cosx(sinx)^3) /(cosx)^2 = sinx

Hvis ikke, kan dere forklare hvor det har gått galt.
Takk på forhånd!
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Du lurer altså på om

$\frac{2\sin x\cdot \cos x\cdot\cos x\cdot (\sin x)^3}{(\cos x)^2}$

er lik $\sin x$.

Dette kan vi greit sjekke at det ikke er - for i telleren har vi $\cos x\cdot\cos x = (\cos x)^2$, og det samme har vi i nevneren. Og siden alt er faktorisert i både teller og nevner, kan disse forkortes mot hverandre. Da ender vi opp med

$\frac{2\sin x\cdot \cos x\cdot\cos x\cdot (\sin x)^3}{(\cos x\cdot \cos x)} = 2\sin x\cdot (\sin x)^3 = 2(\sin x)^4$


Men slik jeg oppfatter oppgaven din, ønsker du å derivere $f(x) = \frac{(\sin x)^2}{\cos x}$?

Husk at for å derivere en brøk, så har vi følgende derivasjonsregel:

$\bigl(\frac{u}{v}\bigr)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Og her har vi da $u = (\sin x)^2$ og $v = \cos x$. Dette gir $u' = 2 \sin x \cdot \cos x$ og $v' = -\sin x$. Bruker vi regelen får vi da:

$f'(x) = \frac{2 \sin x \cdot \cos x\cdot \cos x - (\sin x)^2\cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{2 \sin x \cdot (\cos x)^2 + (\sin x)^3}{(\cos x)^2} $


Dette kan du forenkle noe videre. Ser også ut som du lurer på om svaret skal bli $\sin x$ til slutt? Det kan vi vite at det ikke kommer til å bli, for den funksjonen som har $\sin x$ som sin derivert er jo $-\cos x$. Så da måtte funksjonen din vært $f(x) = -\cos x$, dersom den deriverte skulle vært $\sin x$.
morten s.

Takk,
men trenger litt hjelp videre i oppgaven.

f(x) = ((sinx)^x)/cosx

f`(x)= (sin(2x)*cosx+ sin^3x) / cos^2x

Jeg skal finne den dobbelt deriverte for å finne vendepunkter til f.
Dvs. f``(x) = 0

Går det an å derivere den deriverte i dette tilfellet ved hjelp av brøkregelen f.eks.?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Ja, det går fint. Du må naturligvis bruke en kombinasjon av regler, siden du i telleren har et produkt i tillegg, og potenser av $\sin(x)$ og $\cos(x)$ ellers i uttrykket, så kjerneregelen kan også komme i spill.

Merk at jeg bruker ordet "kan". Det er sjeldent slik at du MÅ bruke den ene regelen eller den andre, da slike oppgaver som oftest kan løses på flere forskjellige måter.
Bilde
morten s

Men hvorfor har ikke funksjonene noen vendepunkter?
josi

morten s skrev:Men hvorfor har ikke funksjonene noen vendepunkter?
Den vanlige metoden for å finne vendepunkter er å regne ut uttrykket for den annenderiverte. Men her blir dette uttrykket temmelig uhåndterbart. Derfor må vi se på den førstederiverte y´ =

$\frac{2sin(x)(cos(x))^2 + (sin(x))^3}{(cos(x))^2} = 2sin(x) + \frac{(sin(x))^3}{(cos(x))^2}$

I vendepunktene er funksjonen brattest, enten oppover mot høyre,y´ har maksimum, eller nedover mot høyre, y´ har minimum. Men y´ har hverken et minimum eller et maksimum. Funksjonen har brudd for x = pi/2 + n2pi og 3pi/2 + n2pi og går mot pluss uendelig når x nærmer seg pi/2 + n2pi og minus uendelig når x nærmer seg 3pi/2 + n2pi. Følgelig mangler funksjonen vendepunkter.
Svar