matematikk.net

Har ei oppgåve som eg har prøvd å løyse sjå nedanfor.

Oppgåve TEST 7E Sigma R2 2015
Test 7. E
a) Løys likninga y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0
b) Vis at f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.
c) Teikn grafen til f når x ∈ [0, 4π].
d) Vis at maksimalverdiane av f utgjer ei geometrisk rekkje. Kva er kvotienten i rekkja?

Her er mi løysing
a) Løys likninga y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0

Denne differensiallikninga har den karakteristiske likninga

r^2 + 0,8r + 1,16 = 0

Vi løyser likninga og får:

r=(- 0,8± √(〖(0,8)〗^2-4 ·1 ·1,16))/(2 · 1) = – 0,8/2 ± ( √(0,64- 4,64))/2 = – 0,8/2 ± ( √(- 4,0))/2 = – 0,8/2 ± ( √4 · √( - 1) )/2
= – 2/5 ± ( 2 · √( - 1) )/2 = = – 2/5 ± √( - 1) = – 2/5 ± ὶ

Den karakteristiske likninga har ingen reelle løysingar. Vi set √(- 1) = ὶ. Løysingane til den karakteristiske likninga kan då skrivast r = p ± ὶ · q, og løysinga til likninga blir

y = e^( px) · (A · sin qx + B · cos qx)
y = e^(- 2/5 x) · (A · sin x + B · cos x)
y = e^(- 0,4 t) · (A · sin x + B · cos x)

b) Vis at f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.

y_0 = 20e^(- 0,4 x) · cos
y_0 ʹ = (20e^(- 0,4 x) · cos x)^( ʹ) = – 0,4 · 20e^(- 0,4 x) · cos x + 20e^(- 0,4 x) · (– sin x)
= – 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x
y_0 ʹʹ = (– 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x)^( ʹ)
= (– 0,4) · (– 8)·e^(- 0,4 x)·cos x – 8e^(- 0,4 x)·(–sin x) – (– 0,4)·20e^(- 0,4 x)·sin x
+ (– 20) ·e^(- 0,4 x) · cos x
= 3,2 · e^(- 0,4 x) · cos x + 8e^(- 0,4 x) ·sin x + 8e^(- 0,4 x)·sin x – 20e^(- 0,4 x) · cos x
= 16e^(- 0,4 x) ·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x

y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0
16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x + 0,8 · (–8e^(- 0,4 x)·cos x –20e^(- 0,4 x)·sin x)
+ 1,16 · (20e^(- 0,4 x) · cos x) = 0
16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x –6,4e^(- 0,4 x)·cos x –16e^(- 0,4 x)·sin x
+ 23,2e^(- 0,4 x) · cos x = 0

16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x –6,4e^(- 0,4 x)·cos x –16e^(- 0,4 x)·sin x
+ 23,2e^(- 0,4 x) · cos x = 0
0 = 0

f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.

d) Vis at maksimalverdiane av f utgjer ei geometrisk rekkje. Kva er kvotienten i rekkja?

f ʹ (x) = – 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x

For å rekne ut toppunktet set vi f (x) ʹ = 0. Vi dividerer med e^(- 0,4x) og får ei trigonometrisk likning der vi på vanleg måte får fram tan x ved å dele med cos x.

f ʹ (x) = 0

– 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x = 0 │: e^(- 0,2x)
– 8 cos x – 20 sin x = 0 │: cos x cos x ≠ 0
– (8 cos⁡x)/cos⁡x – (20 sin⁡x)/cos⁡x = 0
– 8 – 20 tan x = 0
20 tan x = – 8
tan x = – 8/20
tan x = – 2/5 x = tan^(- 1) (– 2/5)≈ - 0,3805

Likninga tan x = – 2/5 ≈ gir x = - 0,3805 + n · π.

Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.

Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får toppunkt anna kvar gong , det vil
seie for
n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = - 0,3805 + k · 2π, der k = 0, 1 , 2, ….

Forholdet mellom maksimalverdiane for k + 1 og k blir då

k = e^(- 0,4 (5,9027 + (k + 1) · 2π))/〖e 〗^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π) ) = e^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π +2π) ) · 〖e 〗^(- 0,4 (-5,9027 - k · 2π))
= e^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π +2π -5,9027 - k · 2π) )
= e^(- 0,4 · 2π )

Forholdet er konstant, og vi har då ei geometrisk rekkje.

Kvotienten i rekkja er k = e^(- 0,4 · 2π )= 0,081.

HEI! Det er oppgåve d) eg slit med korleis den skal gjerast og førast, har prøvd å
følgje eksempel 17 s 284 i læreboka, men forstår ikkje heilt deloppgåve e)
KAN NOKON HJELPE MEG HER?

HEI! Det er oppgåve d) eg slit med korleis den skal gjerast og førast, har prøvd å
følgje eksempel 17 s 284 i læreboka, men forstår ikkje heilt deloppgåve e)
KAN NOKON HJELPE MEG HER?

Hei igjen!

Hva er det du ikke forstår i dn fremstilling av svaret på spørsmål d)?

Og hvor er deloppgave e)?

Hei!
Når det gjeld oppgåva TEST DEG SJØLV /E lurer eg på om eg har gjort riktig a) og b)
c) grafen er ok
Når det gjeld d) har eg gjort det riktig?
Har eg funne rett k = 0,081?
kva blir ledd a_1 er det
f (-0,3805) = 20e^(- 0,4 x) · cos x = 20e^(- 0,4 ·(-0,3805))· cos (-0,3805) ≈ 21,6223
Kva blir neste ledd
a_n = a_(n -1) · k = a_2 = 21,6223 · 0,081 = 1,7514r
Det ser riktig ut frå grafen min.

Oppgåve e) er den frå kap 7.9 Samansette eksempel
i læreboke Sigma R2 2015 s 284 eksempel 17

e) Likninga tan x = 5 gir x = 1,3734 + n · π.

Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.

Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får botnpunkt anna kvar gong , det vil
seie for n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = 1,3734 + k · 2π, der k = 0, 1 , 2, ….

NB! Kva betyr dette?
Vi har sin (1,3734 + k · 2π) = sin 1,3734. Perioden er sinus er 2π

Forholdet mellom maksimalverdiane for k + 1 og k blir då

NB! kvifor k + 1/ k er det at a_n/a_(n-1) = k ⇒ a_k + 1/a_k = k

k = e^(- 0,2 (1,3734 + (k + 1) · 2π))/〖e 〗^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π) ) · 〖e 〗^(- 0,2 (-1,3734 - k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π -1,3734 - k · 2π) ) = e^(- 0,2 · 2π )

Forholdet er konstant, og vi har då ei geometrisk rekkje.