matematikk.net

Hallo.
Om jeg skal finne arealet av flatestykket avgrenset av grafene til to polynomuttrykk, f.eks. to andregradsuttrykk, ved å bruke analysens fundamentalteorem.

Jeg klarer uten problemer å finne arealet, men vet ikke hvordan jeg skal vise dette ved hjelp av teoremet.

Eksempel fra SINUS R2:
Funksjonene f og g er gitt ved
f(x) = -x^2+4x-1
g(x) x^2 - 6x +7
Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafene til f og g.

Her finner vi først skjæringspunktene, dvs. x=1 v x=4

Arealet er da det bestemte integralet fra 1 til 4 av f(x)-g(x), og så får vi til slutt svaret 9.


Likevel ser jeg ikke hvordan jeg kan få vist at dette løses ved bruk av fundamentalteoremet.

Hvordan kan jeg få pakket inn litt tekst om dette teoremet?

Det du bruker fra fundamentalteoremet, er det som sier at arealet under denne grafen er gitt ved det bestemte integralet av denne funksjonen mellom de to x-verdiene.

Generelt:

$$\int_a^b f(x)\mathrm dx = F(b)-F(a)$$

der $F$ er den antideriverte av $f$, og antatt at $f$ er kontinuerlig på intervallet $[a, b]$.

I ditt tilfelle, la oss kalle $h(x) = f(x) - g(x)$ som jo er den funksjonen du ønsker å drøfte arealet under. Vi bruker fundamentalteoremet:

$$A = \int_1^4 h(x) \mathrm dx = H(4) - H(1) = \ldots (\text{her regner du videre})$$

der $H$ er den antideriverte av $h$. Kravet om at funksjonen er kontinuerlig på intervallet er oppfylt, i og med at polynomfunksjoner generelt er kontinuerlige.

Takk! Skjønner!