matematikk.net

Hei, jeg sitter fast på en oppgave der jeg skal finne maksimal omkrets av et rektangel som ligger inne i en halvsirkel med radius 4cm. Og den ene siden av rektangelet ligger langs diameteren til halvsirkelen.

Tenker da at Omkrets er da x+y og fra den tidligere oppgaven hvor jeg skullefinne maksimal areal inne i den samme halvsirkelen så er formelen A = y*2x.

Dermed så bruker jeg 2y + 4x da langsiden i rektangelet er 2x.

Teksten lyder slik: "Et rektangel plasseres inne i en halvsirkel med radius 4.0 cm, slik at den ene av rektangelets sider faller langs halvsirkelens diameter.

a) Hva er det største arealet et slikt rektangel kan ha, og hvor lange er sidekantene da?
b) Hva er den største omkretsen et slikt rektangel kan ha, og hvor lange er sidekantene da?

Sitter da fast på b).

På a) så brukte jeg Pytagoras for å finne y og dermed løse oppgaven ved å derivere funksjonen, men når jeg prøver å bruke den samme metoden på b) så blir det ikke korrekt.
Noen råd?

Hint: Plassere halvsirkelen i eit koordinatsystem med diam. langs x-aksen og midtp. på diam. i origo ( 0 , 0 )

Lat ( x , 0 ) og ( x , y ) ( x > 0 [tex]\wedge[/tex] y > 0 ) vere hjørna i den delen av rektangelet som ligg i 1. kvadrant.

Pytagoras' gir da

y = [tex]\sqrt{4^{2} - x^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex]

Arealet A( x ) = l [tex]\cdot[/tex] b = 2 x [tex]\cdot[/tex] y = 2x [tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex]

Omkretsen O( x ) = 2 l + 2 b = 2[tex]\cdot[/tex]2x + 2 [tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex] = 4 x + 2 [tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex]

Omkretsen O( x ) = 2 l + 2 b = 2[tex]\cdot[/tex]2x + 2 [tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex] = 4 x + 2 [tex]\sqrt{16 - x^{2}}[/tex]

Det er faktisk det jeg også har kommet frem til, men når jeg sjekker mot fasit så stemmer det ikke, evt. så gjør jeg noe feil ved videre utregning.

Jeg har forsøkt å kvadrere hele funksjonen O(x) til å bli O^2(x) for å bli kvitt kvadratroten, en annen måte jeg burde gå frem på her?

Mitt forslag: Bruk CAS i Geogebra.

1) 1. linje: Legg inn funksjonsuttrykket O( x ) ( O( x ):= ............. )

2) 2. linje: Skriv O'( x ) = 0 og avslutte med [tex]\sqrt{}[/tex] ( tast nummer 3 frå venstre på verktøylinja )

3) 3. linje: Marker linje 2 og velg X= på verktøylinja. Da vil den optimale x-verdien dukke

opp på neste linje i CAS-feltet.