matematikk.net

Henger fast på oppgave 8.213 i Sinus 1T (2014). Oppgaven skal løses uten hjelpemidler, og lyder som følger:

En funksjon er gitt ved

[tex]f(x)= \frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2x[/tex]

b) Stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen til f er gitt ved f'(x). Finn den minste verdien til stigningstallet.

c) Bestem koordinatene til det punktet på grafen der stigningstallet er minst.

Det første jeg gjorde var å faktorisere f(x) og kom frem til at f'(x) var [tex]x^{2}+2x+2[/tex]. Jeg prøvde å finne nullpunktene til denne gjennom andregradsformelen/abcformelen, men siden tallet under kvadratroten ble negativt, fant jeg ut at den ikke var mulig å løse. Med andre ord fant jeg ingen stasjonære punkter. Grafen vil altså enten bare stige, eller bare synke. Hvilken av de vet jeg ikke (uten å jukse med å tegne det inn i Geogebra).

Jeg har også prøvd å faktorisere det deriverte uttrykket ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater, også det uten hell (siden det siste leddet er positivt og man ikke kan bruke tredje kvadratsetning).

Noen som kan gi meg noen pekepinn?

Hugs at stigningstalet til tangenten er det same som vekstfarta ( f'( x ) ) til funksjonen f.

Hint: Finn f'( x ) [tex]_{min}[/tex] og problemet er løyst !

Ok, så det er ikke verre enn å bare prøve et par verdier av x inn i den deriverte av funksjonen? Da ser jeg at x=-1 gir et stigningstall på 1, mens når x går enten oppover eller nedover, blir stigningstallet bare større og større. Takk for hintet =)

f'( x ) = x[tex]^{2}[/tex] + 2x + 2 = ( bygge ut x[tex]^{2}[/tex]- leddet og x-leddet til eit fullstendig kvadrat ) x[tex]^{2}[/tex] + 2x + 1 + 1 = ( x + 1 )[tex]^{2}[/tex] + 1

Ser lett at f'( x ) har sin minste verdi når kvadratet ( x + 1 )[tex]^{2}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = -1

f'( x )[tex]_{min}[/tex] = f'( -1 ) = 1

Alternativ løysing I:

f'( x ) = x[tex]^{2}[/tex] + 2x + 2 ( a = 1 og b = 2 )

Botnpunktet på f'-grafen ligg på symmetrilinja

x = [tex]\frac{-b}{2a}[/tex] =[tex]\frac{-1\cdot 2}{2\cdot 1}[/tex] = [tex]\frac{-2}{2}[/tex] = -1

f'( x )[tex]_{min}[/tex] = f'( - 1 ) = 1

Alternativ løysing II:

Kan finne minimalpunktet til f' ved å løyse likninga

f''( x ) = 0

Så genialt! Likte veldig godt alternativ løsning 1. Takk for formelen!