Grenseverdier

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Grenseverdier

Innlegg huff » 20/09-2020 18:52

en funksjon f er gitt ved:

f(x)=(3x+1)/(x+sqrt(4x^2+5))

Bestem grenseverdiene lim x → -∞ og lim x → +∞ ved REGNING.

HELP.
huff offline

Re: Grenseverdier

Innlegg josi » 20/09-2020 19:23

huff skrev:en funksjon f er gitt ved:

f(x)=(3x+1)/(x+sqrt(4x^2+5))

Bestem grenseverdiene lim x → -∞ og lim x → +∞ ved REGNING.

HELP.


Forsøk å dele på x i teller og nevner.
josi offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Mattegjest » 20/09-2020 19:39

Gitt f( x ) = [tex]\frac{3x + 1}{x + \sqrt{4x^{2} + 5}}[/tex] = [tex]\frac{3x +1 }{x + \left | 2x \right |\sqrt{1 + \frac{5}{4x^{2}}}}[/tex]

Hint:

[tex]\left | 2x \right |[/tex] = 2x når x[tex]\rightarrow[/tex]+[tex]\infty[/tex]

[tex]\left | 2x \right |[/tex] = -2x når x [tex]\rightarrow[/tex]- [tex]\infty[/tex]
Mattegjest offline

Re: Grenseverdier

Innlegg huff » 22/09-2020 16:19

Jeg sitter fortsatt fast, kunne du vist hele utregningen?
huff offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Mattegjest » 22/09-2020 17:16

For å få tak i grenseverdien deler vi kvart ledd i teljar og nemnar på x. Da får vi

f( x ) = [tex]\frac{3 + \frac{1}{x}}{1 + 2\sqrt{1 +\frac{5}{4x^{2}}}}[/tex] når x [tex]>[/tex] 0


f( x ) = [tex]\frac{3 + \frac{1}{x}}{1 - 2\sqrt{1 +\frac{5}{4x^{2}}}}[/tex] når x [tex]<[/tex] 0

Når x [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\pm[/tex] [tex]\infty[/tex] , vil begge " småbrøkane " gå mot null.

Da står vi tilbake med 3 i teljar og 1 under rotteiknet i nemnar.

Kva skjer då med f( x ) når x [tex]\rightarrow[/tex] + [tex]\infty[/tex] ( - [tex]\infty[/tex] ) ?
Mattegjest offline

Re: Grenseverdier

Innlegg josi » 22/09-2020 17:25

huff skrev:Jeg sitter fortsatt fast, kunne du vist hele utregningen?


$f(x) = \frac{3x + 1}{x + \sqrt{4x^2 + 5}} = \frac {\frac{3x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{4x^2 +5}}{x}} = \frac {\frac{3x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{4x^2}{x^2} +\frac{5}{x^2}}}$
$\lim_{x\to\inf}f(x) = \frac{3}{1 + \sqrt{4}} = \frac{3}{1 + 2} = 1$
josi offline

Re: Grenseverdier

Innlegg Mattegjest » 22/09-2020 19:35

For å få tak i grenseverdiane oppgava spør etter , løner det seg å først omforme rotuttrykket :

[tex]\sqrt{4x^{2} + 5}[/tex] = [tex]\sqrt{4x^{2}( 1 + \frac{5}{4x^{2}})}[/tex] = [tex]\sqrt{4x^{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{1 + \frac{5}{4x^{2}}}[/tex] = [tex]\left | 2x \right |[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{1 + \frac{5}{4x^{2}}}[/tex]

OBS ! [tex]\sqrt{x^{2}}[/tex] = [tex]\left | x \right |[/tex]

[tex]\left | x \right |[/tex] = x når x > 0

[tex]\left | x \right |[/tex] = - x når x < 0

Minner om at Josi si løysing har som føresetnad at x [tex]\rightarrow[/tex] + [tex]\infty[/tex]

Når x [tex]\rightarrow[/tex] -[tex]\infty[/tex] , får vi ein annan grenseverdi ( jamfør mitt forrige innlegg )
Mattegjest offline

Re: Grenseverdier

Innlegg josi » 22/09-2020 20:14

Du har rett! Mitt forslag forutsetter at x går mot pluss uendelig.
josi offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 91 gjester