matematikk.net

Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.

geil skrev:Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.

hint:

[tex]y''=0[/tex]

geil skrev:Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.

Nok et hint:

$y´´= (y\cdot(6 - y)´= (6y - y^2 )´ = \,\,???$

Takk for tipset
Har løyst oppgåva, sjå nedanfor
er dette ei godkjent løysing.

y^( ʹ ʹ) = (y · (6 - y))^( ʹ ʹ) = (〖6y - y^2)〗^( ʹ ʹ) = 6 – 2y
y^( ʹ ʹ) = 0, når vi har vendepunktet y = 3

y^( ʹ ʹ) = 6 – 2y = 6 – 2 · 3 = 6 – 6 = 0

Dei to sidene er identiske. Altså er y = 3 eit vendepunkt til løysingskurva y^ʹ = y · (6 - y)

y^( ʹ ʹ) = (y · (6 - y))^( ʹ ʹ) = (〖6y - y^2)〗^( ʹ ʹ) = 6 – 2y

Du treffer i hovedsak. Legg imidlertid merke til siden $y´= 6y - y^2$, så er
$y´´= (6y - y^2)´ = 6y´- 2y\cdot y´= y´\cdot (6 -2y) = 0 $ for $y = 3$.

Hei!
Forstår ikkje korleis ein kjem fram til dette
Kan du forklare det meir inngåande.
y^(ʹ ʹ) = (6y - y^2 )^( ʹ) = 6·y^ʹ - 2y· y^ʹ
Kvifor deriverer enn inne i parentesen først også gongar vi med y^ʹ
etterpå?

geil skrev:Hei!
Forstår ikkje korleis ein kjem fram til dette
Kan du forklare det meir inngåande.
y^(ʹ ʹ) = (6y - y^2 )^( ʹ) = 6·y^ʹ - 2y· y^ʹ
Kvifor deriverer enn inne i parentesen først også gongar vi med y^ʹ
etterpå?

y er en funksjon av x slik at også $(6y(x) -y(x)^2)$ er en funksjon av x. Dette siste uttrykket deriveres da m.h.p. x. $(6y(x) -y(x)^2)´= 6y´(x)- 2y(x)\cdot y´(x)$ der vi i tar i bruk kjerneregelen.

Takk !
Er ikkje heilt i boks ennå, men kan det
skrivast slik også

(6y - y^2)ʹ · y^ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

geil skrev:Takk !
Er ikkje heilt i boks ennå, men kan det
skrivast slik også

(6y - y^2)ʹ · y^ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

y´, markert med rødt ovenfor, skal ikke med i uttrykket.

Hei!
Klarer fortsatt ikkje å forstå korleis ein kjem fram til

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

når ein bruker kjerneregelen.

Her er kjerneregelen
f (x) = g (u (x)) ⇒ f ʹ (x) = g ʹ (u) · u ʹ (x)

Klarer ikkje å sjå kva for delar av utrykket her som er
f (x), u (x), g (u (x) og dermed
finne g ʹ (u) · u ʹ (x)

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)
korleis får ein denne y^ʹ i uttrykket ovanfor frå.

Håper nokon kan hjelpe meg her, føler meg litt lost her.

geil skrev:Hei!
Klarer fortsatt ikkje å forstå korleis ein kjem fram til

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

når ein bruker kjerneregelen.

Her er kjerneregelen
f (x) = g (u (x)) ⇒ f ʹ (x) = g ʹ (u) · u ʹ (x)

Klarer ikkje å sjå kva for delar av utrykket her som er
f (x), u (x), g (u (x) og dermed
finne g ʹ (u) · u ʹ (x)

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)
korleis får ein denne y^ʹ i uttrykket ovanfor frå.

Håper nokon kan hjelpe meg her, føler meg litt lost her.

Vi har:
$(6y - y^2)´ = (6y)´- (y^2)´$

La oss se på det første leddet hvor y er en funksjon av x:

$ (6y)´$,

Her er $y = u(x),\,6y = f_1(x) = 6\cdot u(x) = g_1(u(x))$

hvor $g_1 = 6\cdot(.\,.\,.)$

$f_1´(x) = g_1´(u)\cdot u´(x) = 6\cdot y´$

Det andre leddet er når vi setter

$ y = u(x), y^2 = f_2(x) = g_2((u(x)):$

$(y^2)´= (u(x)^2)´= f_2´(x) = g_2´(u(x))\cdot u´(x) = 2y\cdot y´$

hvor $ g_2 = (.\,.\,.)^2$

Til sammen blir dette $ (6y - y^2)´ = 6y´- 2y\cdot y´ = y´(6 -2y)$.

Tusen Takk for svært gode forklaringar.

Beklager at det vart mykje fram og tilbake før eg endeleg forstod alt.

Kluet var at eg ikkje forstod at eg måtte bruke kjerneregelen på
kvar enkelt ledd.

No er alt berre velstand.

NB! Har ikkje vore bort i differensiallikningar før så det er
ikkje så enkelt å få oversikt enno.