Differensiallikningar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Differensiallikningar

Innlegg geil » 18/09-2020 23:12

Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.
geil offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg Janhaa » 19/09-2020 00:09

geil skrev:Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.

hint:

[tex]y''=0[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8218
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Differensiallikningar

Innlegg josi » 19/09-2020 12:42

geil skrev:Hei!
Har ei oppgåve som eg treng hjelp til

Utfordring 5.5 Sigma R2 2015
Vis at ei løysingskurve til y^ʹ = y · (6 - y) har vendepunkt y = 3.

Vendepunkt og andrederivert hører saman, men forstår ikkje korleis
ein kan nytte det her.


Nok et hint:

$y´´= (y\cdot(6 - y)´= (6y - y^2 )´ = \,\,???$
josi offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg geil » 21/09-2020 08:45

Takk for tipset
Har løyst oppgåva, sjå nedanfor
er dette ei godkjent løysing.

y^( ʹ ʹ) = (y · (6 - y))^( ʹ ʹ) = (〖6y - y^2)〗^( ʹ ʹ) = 6 – 2y
y^( ʹ ʹ) = 0, når vi har vendepunktet y = 3

y^( ʹ ʹ) = 6 – 2y = 6 – 2 · 3 = 6 – 6 = 0

Dei to sidene er identiske. Altså er y = 3 eit vendepunkt til løysingskurva y^ʹ = y · (6 - y)
geil offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg josi » 21/09-2020 11:40

y^( ʹ ʹ) = (y · (6 - y))^( ʹ ʹ) = (〖6y - y^2)〗^( ʹ ʹ) = 6 – 2y

Du treffer i hovedsak. Legg imidlertid merke til siden $y´= 6y - y^2$, så er
$y´´= (6y - y^2)´ = 6y´- 2y\cdot y´= y´\cdot (6 -2y) = 0 $ for $y = 3$.
josi offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg geil » 21/09-2020 13:18

Hei!
Forstår ikkje korleis ein kjem fram til dette
Kan du forklare det meir inngåande.
y^(ʹ ʹ) = (6y - y^2 )^( ʹ) = 6·y^ʹ - 2y· y^ʹ
Kvifor deriverer enn inne i parentesen først også gongar vi med y^ʹ
etterpå?
geil offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg josi » 21/09-2020 14:19

geil skrev:Hei!
Forstår ikkje korleis ein kjem fram til dette
Kan du forklare det meir inngåande.
y^(ʹ ʹ) = (6y - y^2 )^( ʹ) = 6·y^ʹ - 2y· y^ʹ
Kvifor deriverer enn inne i parentesen først også gongar vi med y^ʹ
etterpå?


y er en funksjon av x slik at også $(6y(x) -y(x)^2)$ er en funksjon av x. Dette siste uttrykket deriveres da m.h.p. x. $(6y(x) -y(x)^2)´= 6y´(x)- 2y(x)\cdot y´(x)$ der vi i tar i bruk kjerneregelen.
josi offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg geil » 21/09-2020 18:22

Takk !
Er ikkje heilt i boks ennå, men kan det
skrivast slik også

(6y - y^2)ʹ · y^ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)
geil offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg josi » 21/09-2020 19:55

geil skrev:Takk !
Er ikkje heilt i boks ennå, men kan det
skrivast slik også

(6y - y^2)ʹ · y^ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

y´, markert med rødt ovenfor, skal ikke med i uttrykket.
josi offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg geil » 22/09-2020 01:13

Hei!
Klarer fortsatt ikkje å forstå korleis ein kjem fram til

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

når ein bruker kjerneregelen.

Her er kjerneregelen
f (x) = g (u (x)) ⇒ f ʹ (x) = g ʹ (u) · u ʹ (x)

Klarer ikkje å sjå kva for delar av utrykket her som er
f (x), u (x), g (u (x) og dermed
finne g ʹ (u) · u ʹ (x)

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)
korleis får ein denne y^ʹ i uttrykket ovanfor frå.

Håper nokon kan hjelpe meg her, føler meg litt lost her.
geil offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg josi » 22/09-2020 12:20

geil skrev:Hei!
Klarer fortsatt ikkje å forstå korleis ein kjem fram til

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)

når ein bruker kjerneregelen.

Her er kjerneregelen
f (x) = g (u (x)) ⇒ f ʹ (x) = g ʹ (u) · u ʹ (x)

Klarer ikkje å sjå kva for delar av utrykket her som er
f (x), u (x), g (u (x) og dermed
finne g ʹ (u) · u ʹ (x)

(6y - y^2)ʹ = y^ʹ · (6 – 2y)
korleis får ein denne y^ʹ i uttrykket ovanfor frå.

Håper nokon kan hjelpe meg her, føler meg litt lost her.

Vi har:
$(6y - y^2)´ = (6y)´- (y^2)´$

La oss se på det første leddet hvor y er en funksjon av x:

$ (6y)´$,

Her er $y = u(x),\,6y = f_1(x) = 6\cdot u(x) = g_1(u(x))$

hvor $g_1 = 6\cdot(.\,.\,.)$

$f_1´(x) = g_1´(u)\cdot u´(x) = 6\cdot y´$

Det andre leddet er når vi setter

$ y = u(x), y^2 = f_2(x) = g_2((u(x)):$

$(y^2)´= (u(x)^2)´= f_2´(x) = g_2´(u(x))\cdot u´(x) = 2y\cdot y´$

hvor $ g_2 = (.\,.\,.)^2$

Til sammen blir dette $ (6y - y^2)´ = 6y´- 2y\cdot y´ = y´(6 -2y)$.
josi offline

Re: Differensiallikningar

Innlegg geil » 22/09-2020 16:44

Tusen Takk for svært gode forklaringar.

Beklager at det vart mykje fram og tilbake før eg endeleg forstod alt.

Kluet var at eg ikkje forstod at eg måtte bruke kjerneregelen på
kvar enkelt ledd.

No er alt berre velstand.

NB! Har ikkje vore bort i differensiallikningar før så det er
ikkje så enkelt å få oversikt enno.
geil offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 75 gjester