integral
Lagt inn: 13/09-2020 12:24
Hei!
Har løyst ei oppgåve Test 4 C Sima R2 2015
Det er spesielt oppgåve b eg ønskjer tilbakemelding på.
Kan ein løys den slik eg har gjort?
Sjå oppgåve løysing nedafor:
Test 4. C
a) Deriver funksjonen f (x) = lnx/e^x
f ʹ (x) = (u ʹ (x) · v (x) - u (x) · v ʹ (x) )/(v(x))^2 = (1/x · e^x -lnx · e^x )/(e^x )^2 = (e^x/x · x/e^x - e^x lnx · x/e^x )/(e^2x · x/e^x ) = (1 - x lnx )/〖xe〗^x
b) Finn den eksakte verdien for ∫_1^2▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx
Rekna ut først det ubestemte integralet:
∫▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx = ∫▒〖(1/〖xe〗^x - (x lnx)/(〖xe〗^x )) 〗dx = ∫▒1/〖xe〗^x dx - ∫▒lnx/(e^x ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫▒e^(- x) · ln x dx
u^( ʹ) = e^(- x) u = - e^(- x)
v = ln x v^( ʹ) = 1/x
u^ʹ · v u · v u·v^ʹ
- ∫(e^(- x) ·lnx ) dx = - ∫ e^(- x) · ln x dx = - {(- e^(- x) · ln x ) - ∫(e^(- x) · 1/x) dx}
= e^(- x)·lnx - ∫ e^(- x ·1/(x ))
∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫(e^(- x) ·lnx ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx + e^(- x) ·lnx - ∫ e^(- x) · 1/(x ) = e^(- x)·lnx = lnx/e^x
Ser at eg får det same som den deriverte til lnx/e^x, rekna med at løysing mi då er korrekt?
Rekna ut det bestemte integralet:
∫_1^2▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx [lnx/e^x ] 2¦1 = ln2/e^2 - (ln1/e^1 ) = ln2/e^2
Har løyst ei oppgåve Test 4 C Sima R2 2015
Det er spesielt oppgåve b eg ønskjer tilbakemelding på.
Kan ein løys den slik eg har gjort?
Sjå oppgåve løysing nedafor:
Test 4. C
a) Deriver funksjonen f (x) = lnx/e^x
f ʹ (x) = (u ʹ (x) · v (x) - u (x) · v ʹ (x) )/(v(x))^2 = (1/x · e^x -lnx · e^x )/(e^x )^2 = (e^x/x · x/e^x - e^x lnx · x/e^x )/(e^2x · x/e^x ) = (1 - x lnx )/〖xe〗^x
b) Finn den eksakte verdien for ∫_1^2▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx
Rekna ut først det ubestemte integralet:
∫▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx = ∫▒〖(1/〖xe〗^x - (x lnx)/(〖xe〗^x )) 〗dx = ∫▒1/〖xe〗^x dx - ∫▒lnx/(e^x ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫▒e^(- x) · ln x dx
u^( ʹ) = e^(- x) u = - e^(- x)
v = ln x v^( ʹ) = 1/x
u^ʹ · v u · v u·v^ʹ
- ∫(e^(- x) ·lnx ) dx = - ∫ e^(- x) · ln x dx = - {(- e^(- x) · ln x ) - ∫(e^(- x) · 1/x) dx}
= e^(- x)·lnx - ∫ e^(- x ·1/(x ))
∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫(e^(- x) ·lnx ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx + e^(- x) ·lnx - ∫ e^(- x) · 1/(x ) = e^(- x)·lnx = lnx/e^x
Ser at eg får det same som den deriverte til lnx/e^x, rekna med at løysing mi då er korrekt?
Rekna ut det bestemte integralet:
∫_1^2▒(1 - x lnx )/〖xe〗^x dx [lnx/e^x ] 2¦1 = ln2/e^2 - (ln1/e^1 ) = ln2/e^2