integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

integral

Innlegg geil » 13/09-2020 11:24

Hei!
Har løyst ei oppgåve Test 4 C Sima R2 2015

Det er spesielt oppgåve b eg ønskjer tilbakemelding på.
Kan ein løys den slik eg har gjort?
Sjå oppgåve løysing nedafor:

Test 4. C

a) Deriver funksjonen f (x) = ln⁡x/e^x
f ʹ (x) = (u ʹ (x) · v (x) - u (x) · v ʹ (x) )/(v(x))^2 = (1/x · e^x -ln⁡x · e^x )/(e^x )^2 = (e^x/x · x/e^x - e^x ln⁡x · x/e^x )/(e^2x · x/e^x ) = (1 - x ln⁡x )/〖xe〗^x


b) Finn den eksakte verdien for ∫_1^2▒(1 - x ln⁡x )/〖xe〗^x dx

Rekna ut først det ubestemte integralet:

∫▒(1 - x ln⁡x )/〖xe〗^x dx = ∫▒〖(1/〖xe〗^x - (x ln⁡x)/(〖xe〗^x )) 〗dx = ∫▒1/〖xe〗^x dx - ∫▒ln⁡x/(e^x ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫▒e^(- x) · ln x dx

u^( ʹ) = e^(- x) u = - e^(- x)
v = ln x v^( ʹ) = 1/x

u^ʹ · v u · v u·v^ʹ
- ∫(e^(- x) ·ln⁡x ) dx = - ∫ e^(- x) · ln x dx = - {(- e^(- x) · ln x ) - ∫(e^(- x) · 1/x) dx}
= e^(- x)·ln⁡x - ∫ e^(- x ·1/(x ))

∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫(e^(- x) ·ln⁡x ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx + e^(- x) ·ln⁡x - ∫ e^(- x) · 1/(x ) = e^(- x)·ln⁡x = ln⁡x/e^x

Ser at eg får det same som den deriverte til ln⁡x/e^x, rekna med at løysing mi då er korrekt?

Rekna ut det bestemte integralet:

∫_1^2▒(1 - x ln⁡x )/〖xe〗^x dx [ln⁡x/e^x ] 2¦1 = ln⁡2/e^2 - (ln⁡1/e^1 ) = ln⁡2/e^2
geil offline

Re: integral

Innlegg josi » 13/09-2020 15:08

Hei igjen!
$f(x) = \frac{lnx}{e^x}$
Siden $f´(x) = \frac{1 -xlnx}{xe^x}$, vet vi at $\int f´(x)dx = \int\frac{1 -xlnx}{xe^x}dx = f(x) = \frac{lnx}{e^x}$

Så utregningen av integralet som du foretar, er strengt tatt ikke nødvendig.
Men det er jo god trening!

∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫(e^(- x) ·ln⁡x ) dx = ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx + e^(- x) ·ln⁡x - ∫ e^(- x) · 1/(x ) = e^(- x)·ln⁡x = ln⁡x/e^x
Skal det ikke på de røde feltene heller være: $\int e^xlnx\, dx$?
josi offline

Re: integral

Innlegg geil » 13/09-2020 22:02

Hei!
Nei slik eg har rekna det får eg først

1 ∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - ∫▒e^(- x) · ln x dx

2 Tek det siste uttrykket del1 og gjer ein delvis integrasjo og får
= e^(- x)·ln⁡x - ∫ e^(- x ·1/(x ))

3 Tek det første utrykket i del 1 og trekker frå svaret frå del 2
∫▒〖1/x· e〗^(- x) dx - e^(- x)·ln⁡x - ∫ e^(- x ·1/(x ))

Då fell først og site utrykka i del 3 bort og vi sit i igjen med uttrykket
e^(- x) ·ln⁡x = ln⁡x/e^x

Håper dette var forståeleg. slik eg har gjort skal det difor ikkje stå

e^(x) · lnx der du har merka med rødt.
geil offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot] og 88 gjester