Trigonometri

[geil]

Hei!
Nokon som kan forklare eksempeleksamen oppgåve 5 2014 deloppg b)
sjå nedanfor.

(Eksamen, eksempel 2014, del 2)
Thomas står i eit punkt A på kanten av eit sirkelforma symjebasseng med diameter
AB = 40 m. Thomas vil kome seg over til punkt B så raskt som råd. Han kan springe med farten 2k m/s og symje med farten k m/s.
Eit punkt C på bassengkanten er gitt ved at ∠ AOC = θ, der θ ∈ [0, π]. I punkt A er θ = 0,
og i punkt B er θ = π. ∠ BOM = (π - θ)/2.

a) Vis at tida Thomas bruker på å springe frå A til C og deretter symje frå C til B, kan uttrykkast ved funksjonen T gitt ved

T (θ) = (10 θ)/k + (40 〖sin 〗⁡((π - θ)/2))/k,der D_T = ∈ [0, π], k ∈ R

b) Bruk mellom anna T ʹ (θ) til å avgjere korleis Thomas på raskaste måten kan kome seg frå A til B.

Fasiten utrekna i cas gir denn løsinga:

{θ=4 k_1 π+ 1/(3 ) π, θ=4 k_1 π+ 5/(3 ) π}
Dette forstår eg ikkje korleis eg kan/skal bruke vidare

[josi]

Finn først buelinjen AC: $\frac{AC}{20} = \theta,\, AC = 20\theta$
Deretter linjestykket BC: $BC = 2\cdot 20\cdot cos(\frac{\theta}{2})$, da <OBC er periferivinkel til <AOC dvs. $\theta$. Tid er strekning delt på fart. Så vi får:
$T(\theta) = \frac{20\theta}{2k} + \frac{2\cdot 20\cdot cos(\frac{\theta}{2})}{k} = \frac{10\theta}{k} +
\frac{40\cdot sin(\frac{\pi}{2} -\frac{\theta}{2})}{k}$

Deriver dette uttrykket mhp $\theta$ og finn den verdien av $\theta$ som gir $ T´(\theta ) = 0$.
Her har vi det spesielle at denne $\theta$-verdien,$\frac{\pi}{3}$, gir en maksimumsverdi for $T(\theta)$ slik at minimumsverdien må ligge i en av randpunktene, $0,\pi$. Dette sjekkes ved å sette inn disse verdiene i $T(\theta)$.