matematikk.net

Hei!
(Eksamen V2013, del 2)
Funksjonen f er gitt ved

f (x) = 12 e – 0,5 x sin (0,5 x), x ∈ [0, 4π]

b) Finn eventuelle topp- botnpunkt på grafen til f

Har løyst b) og fått følgane. sjå løysing nedanfor:

Problemstilling:
Lurer på kvifor ein i fasiten kjem fram til at (0, 0) 0g (4π, 0) er lokale botnpunkt når f` i intervallet 0- π/2 er voskande og intervallet 5π/2- 4π også er voksande.
NB! Nokon som kan hjelpe meg her

Laga forteiknlinje til f ` (x) og ser følgande: Stigande frå 0 til π/2 minkande frå π/2 til 5π/2 og stigane frå 5π/2 til 4π

Begge dei to er nullpunkt til funksjonen

LØYSING
b) Finn eventuelle topp- botnpunkt på grafen til f

f ʹ (x) = (〖12e〗^(- 0,5 x) · sin (0,5 x))^ʹ
= 〖12e〗^(- 0,5 x) · ( - 0,5) · sin (0,5 x) + 〖12e〗^(- 0,5 x) · cos (0,5 x) · 0,5
= - 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin⁡〖 (0,5)x-cos⁡〖 (0,5 x〗 〗 )

f ʹ (x) = 0

- 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin⁡〖 (0,5)x-cos⁡〖 (0,5 x〗 〗 ) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) = - 〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x) cos (0,5 x) ≠ 0



(-〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) )/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x)) = (-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))

tan (1/2 x) = 1 tan – 1 (1) = π/4

1/2 x = π/4 + n · π
x = π/4 · 2 + n · π · 2
x = π/2 + n · 2π
x = π/2 + 0 · 2π eller x = π/2 + 1 · 2π
x = π/2 eller x = 5π/2

f (0) = 12^(- 0,5 · 0) · sin (1/2 ·0) = 0
f (π/2 ) = 12^(- 0,5 · π/2) · sin (1/2 · π/2) ≈ 5,471 · 0,707 ≈ 3,868
f (5π/2 ) = 12^(- 0,5 · 5π/2) · sin (1/2 · 5π/2) ≈ 0,236 · ( - 0,707) ≈ - 0,167
f (4π) = 12^(- 0,5 · 4π) · sin (1/2 · 4π) = 0, 022 · 0 = 0

Toppunkt: (π/2,3,868 )

Botnpunkt: (5π/2,- 0,167 )

I løsningsforslaget, ikke fasiten, står det under b):
b)

f(x)=12e−x/2⋅sin(x/2)

. Derivasjon gir oss


f′(x)=−612e−x/2⋅(sin(x/2)−cos(x/2))

Løser vi denne likningen fås
tan(x/2)=1
, som har løsninger x/2=πn+π/4

Slik at løsningene blir x=0
, x=π/2 og x=5π/2 og π/4
Hvor x=0
og x=4π er lokale bunnpunkt, mens x=π/2 er toppunkt og x=5π/2 er bunnpunkt.

"Slik at" er misvisende her da $x = 0$ og $x = 4\pi$ ikke er løsninger av $f´(x) = 0$.

Bruk av den deriverte i testen ovenfor for å finne ekstrempunkter, gjelder bare for indre punkter i definisjonsområdet.
$x = 0, x = 4\pi$ er randpunkter i den oppgitte funksjonens definisjonsområde. $ x = 0$ er et bunnpunkt da $f´(0) > 0$, $ x = 4\pi$ gir et nullpunkt, men ikke et bunnpunkt for $f(x)$.

$(4\pi,0)$ er et lokalt toppunkt. Det er et randpunkt og større enn alle punkter i en omegn som også tilhører definisjonsområdet da $f´(x) > 0$ i denne omegnen.