matematikk.net

(Eksamen V2013, del 2)
Funksjonen f er gitt ved

f (x) = 12 e^ (– 0,5 x) · sin (0,5 x), x ∈ [0, 4π]

a) Teikn grafen til f.
Hei!
Korleis kan eg berre utifrå funksjonsuttrykket til f (x) teikne grafen
Tenker ein kunne nytte at sin x toppunkt = 1 og botnpunkt sin x = -1.
Ser ikkje korleis ein kan gjere det her.
Hadde vore fint om nokon kunne hjelpe meg her

Siden det står "Del 2" i oppgaven, så betyr det at oppgaven er tiltenkt å løses med digitale hjelpemidler, og ikke for hånd.

Ok, men lurte likevel på om det var mogeleg
og eventuelt korleis ein kunne gjere det.

Jeg ville først funnet nullpunktene, og markert dem.

Deretter kan vi, som du sier, bruke at vi vet hvor toppunktene og bunnpunktene er. Altså for $x=\frac\pi2$ osv. Men vi måtte ha satt dette inn i funksjonen og regnet ut $12e^{-0.5\cdot\frac\pi2}\sin(0.5\frac\pi2)$ og resten av dem.

Det lar seg gjøre til en viss grad, men dette er en av de "vi KAN, men det tar såpass lang tid at vi lar det være". Og siden vi måtte regnet ut $e^\pi$ og liknende, så ser vi at det har en transcendental natur, så det beste vi kan gjøre er tilnærminger.

Tusen Takk,den er god.

Hei!
Har løyst b) og fått følgane. sjå løysing nedanfor:

Lurer på kvifor ein i fasiten kjem fram til at (0, 0) 0g (4π, 0) er lokale botnpunkt når f` i intervallet 0- π/2 er voskande og intervallet 5π/2- 4π også er voksande.

Lager forteiknlinje til f ` (x) og ser følgande: Stigande frå 0 til π/2 minkande frå π/2 til 5π/2 og stigane frå 5π/2 til 4π

Begge dei to er nullpunkt til funksjonen

LØYSING
b) Finn eventuelle topp- botnpunkt på grafen til f

f ʹ (x) = (〖12e〗^(- 0,5 x) · sin (0,5 x))^ʹ
= 〖12e〗^(- 0,5 x) · ( - 0,5) · sin (0,5 x) + 〖12e〗^(- 0,5 x) · cos (0,5 x) · 0,5
= - 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin⁡〖 (0,5)x-cos⁡〖 (0,5 x〗 〗 )

f ʹ (x) = 0

- 〖6e〗^(- 0,5 x) (sin⁡〖 (0,5)x-cos⁡〖 (0,5 x〗 〗 ) = 0
- 〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) = - 〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x) cos (0,5 x) ≠ 0
(-〖6e〗^(- 0,5 x) sin (0,5 x) )/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x)) = (-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))/(-〖6e〗^(- 0,5 x) cos (0,5 x))

tan (1/2 x) = 1 tan – 1 (1) = π/4

1/2 x = π/4 + n · π
x = π/4 · 2 + n · π · 2
x = π/2 + n · 2π
x = π/2 + 0 · 2π eller x = π/2 + 1 · 2π
x = π/2 eller x = 5π/2

f (0) = 12^(- 0,5 · 0) · sin (1/2 ·0) = 0
f (π/2 ) = 12^(- 0,5 · π/2) · sin (1/2 · π/2) ≈ 5,471 · 0,707 ≈ 3,868
f (5π/2 ) = 12^(- 0,5 · 5π/2) · sin (1/2 · 5π/2) ≈ 0,236 · ( - 0,707) ≈ - 0,167
f (4π) = 12^(- 0,5 · 4π) · sin (1/2 · 4π) = 0, 022 · 0 = 0

Toppunkt: (π/2,3,868 )

Botnpunkt: (5π/2,- 0,167 )