matematikk.net

forsøker å løse følgende oppgave, bevis at [tex]n^7-n[/tex] er delelig med 7

Har forsøkt med å faktorisere ned til [tex]n(n^3-1)(n^3+1)[/tex]. Hvis jeg setter [tex]a=n^3-1[/tex] og [tex]b=n^3+1[/tex] så må enten a eller b være delelig med 7 dermed må [tex]ab[/tex] være delelig med 7 med unntak hvis [tex]n=7m[/tex] der m er et naturlig tall fordi [tex]7m[/tex] deler 7 dermed må [tex]n^7-n[/tex] dele 7 for alle verdier av n. kan jeg bruke denne argumentasjon, hvis ikke finnes det en annen måte å gjøre det på ?

Fermats Lille Teorem (https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem) løser denne oppgaven trivielt, siden 7 er primtall. Men jeg vet ikke om det er R1-pensum.

Det kan også vises ved induksjon, men det introduseres vel ikke før i R2.

Hvis det må gjøres med enda mer "primitive" metoder, så må du nødvendigvis se på følgende:

$n$ kan enten være $7k, \quad 7k \pm 1, \quad 7k \pm 2, \quad 7k \pm 3$, dette fordi hvert syvende tall er en multippel av 7.

Du må derfor gjøre argumenter for hvert av disse tilfellene.

[quote="Aleks855"]

$n$ kan enten være $7k, \quad 7k \pm 1, \quad 7k \pm 2, \quad 7k \pm 3$, dette fordi hvert syvende tall er en multippel av 7.

Du må derfor gjøre argumenter for hvert av disse tilfellene.[/quote

det har jeg allerede gjort ved å si at [tex]n^3-1[/tex]
eller

[tex]n^3+1[/tex]
deler 7 hvis n=7m ikke gjør det

Aleks855 skrev:$n$ kan enten være $7k, \quad 7k \pm 1, \quad 7k \pm 2, \quad 7k \pm 3$, dette fordi hvert syvende tall er en multippel av 7.

Du må derfor gjøre argumenter for hvert av disse tilfellene.

jeg skjønner ikke poenget med å denne kommentaren fordi for det første har du ikke behov for å uttrykke n slik, for det andre sett en av de verdiene du har oppgitt med en vilkårlig k
slik du sier i formelen [tex]n^3+1[/tex] eller [tex]n^3-1[/tex] så vil du se at uansett hvilken tall du får vil en av dem dele 7 med mindre n ikke er lik 7,14,28 etc.