abeloppgave 8 fra 2018/2019 spør hvor mange sammenhengende nuller er det rett etter desimaltegnet i desimalfremstillingen av [tex]10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}[/tex]
jeg skjønte ikke helt fremgangsmåten i fasiten men forsøkte med følgende fremgangsmåte og lurer på om noen kan se over om det stemmer eller ikke da jeg ikke er helt sikker selv
[tex]y=10^{320}-\sqrt{10^{640}-1}[/tex]
[tex]y-10^{320}=-\sqrt{10^{640}-1}[/tex]
[tex](-1)*(y-10^{320})=(-1)*(-\sqrt{10^{640}-1})[/tex]
[tex]10^{320}-y=\sqrt{10^{640}-1}[/tex]
[tex](10^{320}-y)^2=(\sqrt{10^{640}-1})^2[/tex]
[tex]10^{640}-2y10^{320}+y^2={10^{640}-1}[/tex]
[tex]-2y10^{320}+y^2=(10^{640}-10^{640})-1[/tex]
[tex]-10^{320}=\frac{-y^2-1}{2y}[/tex]
[/tex]\frac{-y^2-1}{2y}+10^{320}[/tex]
abeloppgave 18/20
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
beklager rot på siste linje, konklusjonen skulle være at
[tex]\frac{-y^2-1}{2y}+10^{320}[/tex] nå består av 320 sammenhengede nuller men er som sagt usikker om det er noe feil
[tex]\frac{-y^2-1}{2y}+10^{320}[/tex] nå består av 320 sammenhengede nuller men er som sagt usikker om det er noe feil
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Sett
$(1) \;\; x = 10^{320} - \sqrt{10^{640} - 1}$,
Ved å gange begge sider av likhetstegnet i (1) med $10^{320}+ \sqrt{10^{640} - 1}$, får vi
$(2) \;\; (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x = 1$.
Ved å sette
$f(x) = (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x$,
får vi
$f(10^{-320}) = 1 + \sqrt{1 - 10^{-640}} > 1$
og
$f(10^{-321}) = 10^{-1}(1 + \sqrt{1 - 10^{-640}}) < 2 \cdot 10^{-1} < 1$,
som kombinert med (2) gir
$(3) \;\; 10^{-321} < x < 10^{-320}$.
Av (3) følger at x er et desimaltall der de første 320 desimalene er nuller mens desimal nummer 321 er forskjellig fra 0.
$(1) \;\; x = 10^{320} - \sqrt{10^{640} - 1}$,
Ved å gange begge sider av likhetstegnet i (1) med $10^{320}+ \sqrt{10^{640} - 1}$, får vi
$(2) \;\; (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x = 1$.
Ved å sette
$f(x) = (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x$,
får vi
$f(10^{-320}) = 1 + \sqrt{1 - 10^{-640}} > 1$
og
$f(10^{-321}) = 10^{-1}(1 + \sqrt{1 - 10^{-640}}) < 2 \cdot 10^{-1} < 1$,
som kombinert med (2) gir
$(3) \;\; 10^{-321} < x < 10^{-320}$.
Av (3) følger at x er et desimaltall der de første 320 desimalene er nuller mens desimal nummer 321 er forskjellig fra 0.
-
Gjest
har sett litt mer på konklusjonen min og tenker at siden [tex]\sqrt{10^{640}}=10^{320}[/tex]
da må [tex]\sqrt{10^{640}-1}< 10^{320}[/tex]. Siden [tex]\sqrt{10^{640}-1}< 10^{320}[/tex] da må [tex]y\in \mathbb{R_+}[/tex] og det følger at [tex]\frac{-y^2-1}{2y}[/tex] alltid er negativ og [tex]\frac{-y^2-1}{2y}+10^{320}[/tex] må være positiv fordi [tex]\frac{-y^2-1}{2y}< 10^{320}[/tex]. Dermed vil det vises 320 nuller etter desimaltegnet. ser ut til at dette gjelder generelt for tall på formen[tex]10^a-\sqrt{10^{2a}-1}[/tex]
da må [tex]\sqrt{10^{640}-1}< 10^{320}[/tex]. Siden [tex]\sqrt{10^{640}-1}< 10^{320}[/tex] da må [tex]y\in \mathbb{R_+}[/tex] og det følger at [tex]\frac{-y^2-1}{2y}[/tex] alltid er negativ og [tex]\frac{-y^2-1}{2y}+10^{320}[/tex] må være positiv fordi [tex]\frac{-y^2-1}{2y}< 10^{320}[/tex]. Dermed vil det vises 320 nuller etter desimaltegnet. ser ut til at dette gjelder generelt for tall på formen[tex]10^a-\sqrt{10^{2a}-1}[/tex]