Hei har ei oppgåve fra Sigma R2 2015.
Har prøvd å løyse oppgåva nedanfor, men er usikker på om
løysinga er riktig og då spesielt b)
Føler at eg er på tynn is og treng hjelp!
Oppgåve 3.101
Figuren ovanfor viser ein sirkel med radius 1. Punkta A, B og C ligg på
sirkelperiferien slik at AB = AC og ∠ BAC = x, der x ∈ ⟨0, π/2⟩.
Det fargelagde området på figuren er avgrensa av linjestykka AB, AC og
bogen BC. Området har arealet F gitt ved
F (x) = x + sin x
Vi ønskjer at dette arealet skal vere halvparten så stor som sirkelarealet.
a) Vis at x då må oppfylle likninga
sin x + x - π/2 = 0
b) Forklar korfor likninga i a har ei løysing x = u, der
0,5 < u < 1
c) Bevis at arealet F på figuren er gitt ved
F (x) = x + sin x.
LØYSING:
a) Arealet til ein halv sirkel er:
A = 1/2 πr^2
= 1/2 π · (1)^2
= 1/2 π
= π/2
sin x + x = π/2
sin x + x - π/2 = 0
b)
Lar g (x) = sin x + x - π/2
g (0,5) = sin x + x - π/2
= sin (0,5) + 0,5 - π/2 = = 0,591
g (1,0) = sin x + x - π/2
= sin (1,0) + 1,0 - π/2 = = 0,271
Her ser vi at det finst ein x = u slik at
u ∈ ⟨0,5, 1⟩
fordi dette intervallet ligg innen for intervallet til x ∈ ⟨0, π/2⟩
c)
La A, B og C vere tilfeldige punkt på sirkelperiferien til ein sirkel med sentrum i O.
La B og C ligge på kvar si side av diameteren AD gjennom AO. Vi skal vise at sentralvinkelen BOC er dobbelt så stor som periferivinkelen BAC.
Vi trekker diameteren AD gjennom AO som ein hjelpelinje, og kallar ∠OAB for v.
Vi ser av figuren ovanfor at ∠OAB = ∠OBA = v fordi ∠AOB er likebeina. Sidan vinkelsummen i ein trekant alltid er 180°, vil ∠AOB =180° − 2v.
Vi får då
∠BOD =180° − ∠AOB = 180°− (180° − 2v) = 2v.
Tilsvarende er ∠COD dobbelt så stor som ∠CAD.
Vi har dÅ vist at ∠BOC = 2⋅∠BAC
I beviset ovanfor forutsette vi at B og C låg på kvar sin side av diameteren AD gjennom AO . Vi skal nå la eitt av punkta, for eksempel B, ligge på diameteren slik at B og D blir samanfallande.
Same argument som ovanfor viser at også nå er ∠BOC = 2⋅ ∠BAC.
I figuren gitt i oppgåva er ∠BAC = x og ∠BOC = 2x.
Trekanten OBA er likebeina. Vi har då at ∠OBA = ∠OAB = 1/2 x, fordi diameteren AD gjennom AO halverer ∠ BAC.
Vinkelen ∠ AOB = 180° - ∠OBA - ∠OAB = 180° - 1/2 x - 1/2 x = 180° - x
Vi har også at sin (180° – x) = sin x
Vi bruker arealsetninga på ∆ OBA
Arealet av ∆ OBA: A = 1/2 · OA · OB · sin ∠ AOB = 1/2 · 1 · 1 · sin x = 1/2 sin x
Arealet av □ OBAC: A = A_OAB+ A_OAC = 1/2 sin x + 1/2 sin x = sin x
Arealet av firkanten □ OBAC er A = sin x.
Arealet av sirkelsektor BOC: A = π · r^2 · n/360 = (nπr^2)/360 = (nπr^2)/2π = 1/2 nr^2
A = 1/2 · 2x · 〖(1)〗^2 = x
Arealet av sirkelsektoren BOC: A = x.
Vi har bevist at arealet F på figuren er gitt ved F (x) = x + sin x.
Trigonometri
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei
ja slike ligninger er vanskelig å løse uten hjelpmidler. Husk at sin(x) funkjsonen er en repeterende funksjon. Du plugger inn begge grenser som er bra! Den første blir negativ ikke sant? -0,591. Så ser vi at funskjonen MÅ krysse x aksen og finnes det en løsning. Jeg vet ikke om skjæringssetningen er del av R2 pensumet men dette er ganske logisk. Så lenge funksjonen er kontinuerlig.
En annen måte å løse oppgave b er Geogebra eller CAS. Prøv det og finn alle mulige løsninger til ligningen.
ja slike ligninger er vanskelig å løse uten hjelpmidler. Husk at sin(x) funkjsonen er en repeterende funksjon. Du plugger inn begge grenser som er bra! Den første blir negativ ikke sant? -0,591. Så ser vi at funskjonen MÅ krysse x aksen og finnes det en løsning. Jeg vet ikke om skjæringssetningen er del av R2 pensumet men dette er ganske logisk. Så lenge funksjonen er kontinuerlig.
En annen måte å løse oppgave b er Geogebra eller CAS. Prøv det og finn alle mulige løsninger til ligningen.
-
geil
Hei!
Kan dette vere eit godkjent svar på b)
b) Forklar korfor likninga i a har ei løysing x = u, der
0,5 < u < 1
Skjeringssetninga:
Tenk at f : [a, b] → ℝ er ein kontinuerleg funksjon der f (a) og f (b) har motsett forteikn.
Då finst eit tal c ∈ ⟨a, b⟩ slik at f (c) = 0.
Vi set g (x) = sin x + x - π/2
g (0,5) = sin x + x - π/2
= sin (0,5) + 0,5 - π/2 = 0,591
g (1,0) = sin x + x - π/2
= sin (1,0) + 1,0 - π/2 = 0,271
Ettersom g (0,5) < 0 og g (1) > 0 finst ein x = u slik at
u ∈ ⟨0,5, 1⟩
og
g (u) = 0
Kan dette vere eit godkjent svar på b)
b) Forklar korfor likninga i a har ei løysing x = u, der
0,5 < u < 1
Skjeringssetninga:
Tenk at f : [a, b] → ℝ er ein kontinuerleg funksjon der f (a) og f (b) har motsett forteikn.
Då finst eit tal c ∈ ⟨a, b⟩ slik at f (c) = 0.
Vi set g (x) = sin x + x - π/2
g (0,5) = sin x + x - π/2
= sin (0,5) + 0,5 - π/2 = 0,591
g (1,0) = sin x + x - π/2
= sin (1,0) + 1,0 - π/2 = 0,271
Ettersom g (0,5) < 0 og g (1) > 0 finst ein x = u slik at
u ∈ ⟨0,5, 1⟩
og
g (u) = 0