Monotoniegenskaper og bruk av tegn

[EmmettBrown]

Jeg ble litt forvirret her. Jeg holder på med noen oppgaver der jeg blant annet skal bestemme monotoniegenskaper til funksjoner. Så begynte jeg å lure på korrekt bruk av tegnene
[tex]\leq[/tex], [tex]<[/tex], [tex]>[/tex] og [tex]\geq[/tex].

En av funksjonene er [tex]f(x)=2x^3-5x^2-4x+3[/tex], [tex]x∈[-2,4][/tex]. Jeg har funnet ut at [tex]f[/tex] er voksende når [tex]-2<x<-\frac{1}{3}[/tex] og når [tex]2<x<4[/tex] og minkende når [tex]-\frac{1}{3}<x<2[/tex]. I følge fasiten er dette riktig.

En annen funksjon er [tex]f(x)=-x^3+3x^2-2[/tex] , [tex]x∈[-2,4][/tex]. Her ble svaret mitt at [tex]f[/tex] er voksende når [tex]0<x<2[/tex] og minkende når [tex]-2<x<0[/tex] og når [tex]2<x<4[/tex]. Her sier fasiten at tallene mine er riktige, men der er det bare brukt [tex]\leq[/tex]-tegn der jeg har [tex]<[/tex]-tegn. Dette skjønner jeg ikke. I følge fasiten er da funksjonen voksende eller minkende i ekstremalpunktene der [tex]f'(x)=0[/tex]. Hva er det jeg ikke ser her?

Dette fikk meg til å tenke på tegnsetting mer generelt. Når det f.eks. står at [tex]x∈[-2,4][/tex], er vel dette det samme som [tex]-2\leq x\leq 4[/tex]. Burde ikke da det riktige svaret på den øverste oppgaven her være at funksjonen er voksende når [tex]-2\leq x< -\frac{1}{3}[/tex] og når [tex]2<x\leq 4[/tex] og minkende når [tex]-\frac{1}{3}<x<2[/tex]?

[Gustav]

Godt spørsmål! Og du har helt rett i at fasiten er upresis/feil. Definisjon: En funksjon f(x) på et intervall I kalles monotont voksende dersom $f(x)\ge f(y)$ for alle $x,y\in I$ slik at $x\ge y$. (og tilsvarende monotont synkende)

Det riktige på oppgaven din blir derfor å inkludere endepunktene på intervallene der funksjonen er voksende eller synkende.

[Gjest]

Takk for tilbakemelding . Da klapper jeg meg selv på skulderen for å ha sett en feil i fasiten .