Integrasjon til besvær

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Integrasjon til besvær

Innlegg Gjest » 11/05-2020 13:03

Skal prøve å integrere

[tex]\int \frac{1}{cos^2 (x)}dx[/tex]

[tex]\int \frac{1}{cos^2 (x)}dx=\int \frac{1}{cos (x)*cos(x)}dx[/tex]

[tex]u=cos(x) \Rightarrow dx=\frac{du}{-sin(x)}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{cos^2 (x)}dx=\int \frac{1}{cos (x)*cos(x)}dx=\int \frac{1}{u^2}\frac{du}{-sin(x)}[/tex]

ble ikke noe særlig penere


annen måte jeg har prøvd på
[tex]\int \frac{1}{cos^2 (x)}dx[/tex]

[tex]tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\Leftrightarrow cos(x)=\frac{sin(x)}{tan(x)}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{cos^2 (x)}dx=\int \frac{1}{\frac{sin(x)}{tan(x)}*\frac{sin(x)}{tan(x)}}dx[/tex]

ble ikke særlig penere heller

jeg vet at svaret blir [tex]tan(x)+C[/tex] but why...
Gjest offline

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 13:32

Dette er vel et integral som krever kunnskap enten om kjente trigonometriske derivasjoner, eller om generelle trigonometriske identiteter.

Eksempel 1: Hvis man driver med integrasjon av trig-funksjoner, så er det rimelig å anta at du har god kjennskap til trionometrisk derivasjon. Eksempelvis er det fornuftig å tro at du har derivert $\tan(x)$ før. I så fall vil det ønskede resultatet falle rett ut derfra.

Eksempel 2: Litt kjennskap til trinometriske omskrivinger gjør at vi kan skrive $\frac1{\cos^2(x)} = \tan^2(x) + 1 = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + 1$, og derfra anvende en kombinasjon av delvis integrasjon og substitusjon.

Sånn i farta klarer jeg ikke å komme på noe lettere. Mulig det er noen andre som har fiffige innspill.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6291
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Janhaa » 11/05-2020 13:40

kan bruke:

[tex]u=\tan(x)[/tex]
etc...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8100
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 14:27

Janhaa skrev:kan bruke:

[tex]u=\tan(x)[/tex]
etc...


Men da må man jo uansett derivere $\tan(x)$, og oppdager på veien at... :D
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6291
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Mattegjest » 11/05-2020 16:29

Integrasjon og derivasjon er " motsette " prosessar. Derfor har vi


1) sin( x )' = cos( x ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\int[/tex]cos( x ) dx = sin( x ) + C



2) tan( x )' = [tex]\frac{1}{cos^{2}( x )}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\int \frac{1}{cos^{2}( x )}[/tex]dx = tan(x ) + C

3) cotan( x )' = -[tex]\frac{1}{sin^{^2}(x)}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{sin^{2}( x ))}[/tex]dx = - cotan( x ) + C




4) [tan[tex]^{-1}[/tex]( x )]' = [tex]\frac{1}{1 + x^{2}}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{1 + x^{2}}[/tex]dx = tan[tex]^{-1}[/tex]( x ) + C , etc...…………..
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 42 gjester