Side 1 av 1

Trigonometri

InnleggSkrevet: 09/05-2020 09:36
geil
Hei treng litt hjelp med følgande oppgåve

Utfordring 3.22
Likninga 4 sin x – 3 cos x = a har ingen, ei eller fleire løysingar når x ∈[0,┤ ├ 2π⟩, alt etter verdien av a.
Finn kor mange løysingar det blir for ulike verdiar av a.

Har gjort følgande sjå nedanfor

A = √(a^2+ b^2 ) = √(4^2+ 〖(-3)〗^2 ) = √(16+9) = √25 = 5

tan φ = b/a = (- 3)/4 = - 0,644
φ = - 0,644 + n · π
φ = - 0,644 + 2 · π
φ = 5,639

Så finn vi φ:
Sidan (a, b) = (4,-3) ligg i fjerde kvadrant,
må φ = 5,639.
Då får vi omskrivinga:
4 sin x - 3 cos x = 5 sin (x+5,639 ).
Løysinga til likninga blir no:
5 sin (x+5,639) = a
sin (x+ 5,639) = a/5
x + 5,639 = a/5 + n · 2π
x = a/5 - 5,639 + n · 2π

eller
x + 5,639 = π - a/5 + n · 2π
x = π - a/5 – 5,639 + n · 2π


a = 5 a = - 5
sin (x + 5,639) = 1 + n · 2π sin (x + 5,639) = - 1 + n · 2π
x = 1,571 - 5,639 + n · 2π x = - 1,571 - 5,639 + n · 2π
x = - 4,068 + n · 2π x = - 7,21 + n · 2π
x = - 4,068 + 1 · 2π x = - 7,21 + n · 2π
x = 2,215 x = 5,356

a = 5 a = - 5
sin (x + 5,639) = π - 1 + n · 2π sin (x + 5,639) = π – (-1) + n · 2π
x = π/2 – 5,639 + n · 2π x = 3π/2 – 5,639 + n · 2π
x = - 4,068 + n · 2π x = - 0,927 + n · 2π
x = - 4,068 + 1 · 2π x = - 7,21 + 1 · 2π
x = 2,215 x = 5,356


a = 4 a = - 4
sin (x + 5,639) = 4/5 + n · 2π sin (x + 5,639) = - 4/5 + n · 2π
x = 0,927 - 5,639 + n · 2π x = - 0,927 - 5,639 + n · 2π
x = - 4,712 + n · 2π x = - 6,566 + n · 2π
x = - 4,712 + 1 · 2π x = - 6,566 + 2 · 2π
x = 1,571 x = 6,000

a = 4 a = - 4
sin (x + 5,639) = π - 4/5 + n · 2π sin (x + 5,639) = π - (-4/5) + n · 2π
x = 2,214 – 5,639 + n · 2π x = 4,068 – 5,639 + n · 2π
x = - 3,425 + n · 2π x = - 1,571 + n · 2π
x = - 3,425 + 1 · 2π x = - 1,571 + 1 · 2π
x = 2,858 x = 4,712

Korleis kjem eg fram til intervall for a
a > 5 og a> - 5 inga løysing for då blir sinus større enn 1, -1

Re: Trigonometri

InnleggSkrevet: 09/05-2020 11:42
josi
Legg merke til at oppgaven ikke spør etter løsningene, men tallet på løsninger gitt ulike verdier for a.

Da sparer du deg for mye regnearbeid ved å sette $ x - {tan}^{-1}(\frac{3}{4}) = u$ slik at du får $sin(u) = \frac{a}{5}$
Og som du selv ser og skriver: $sin(u) \in [-1,1]$
Da får vi nøyaktig én løsning når $a = 5\,\vee\,-5$,
to løsninger når$ a \in (-5,5)$ og ingen løsning når
$ a \notin [-5,5]$.