Integrasjon til besvær

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Integrasjon til besvær

Innlegg Gjest » 06/05-2020 12:31

Hei, hvor ligger feilen her;

[tex]\int e^xsin(x)dx[/tex]

anvender [tex]\int u'v=uv-\int uv' dx[/tex]

[tex]u'=e^x\Rightarrow u=e^x[/tex]
[tex]v=sin(x)\Rightarrow v'=cos(x)[/tex]

[tex]\int e^xsin(x)=e^xsin(x)-\int e^x*cos(x)dx[/tex]

Hvor jeg tar delvis en gang til på [tex]\int e^x*cos(x)dx[/tex] med [tex]u'=cos(x) \Rightarrow u= sin(x)[/tex] og [tex]v=e^x[/tex]

[tex]\int e^x cos(x) = e^x sin(x)-\int sin(x)*e^x dx[/tex]

Slik at [tex]\int e^x sin(x) dx = sin(x)e^x-\left ( sin(x)e^x-\int sin(x)e^x dx\right )[/tex]
som gir [tex]2 \int e^x sin(x) dx = sin(x)e^x-sin(x)e^x\Rightarrow \int e^x sin(x) =\frac{0}{2}+C=C[/tex]

hvor ligger feilen
Gjest offline

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg SveinR » 06/05-2020 13:30

Hei, feilen ligger mellom "slik at" og "som gir", hvor du har en fortegnsfeil. Med korrekt utregning av fortegn ender vi her med den fine likningen

$0 = 0$,

som iblant kan skje ved denne teknikken (altså delvis integrasjon to ganger), om man har litt uflaks.

Prøv å løse den på nytt, men for "delvis nummer 2", velg motsatt $u'$ og $v$ enn du gjorde denne gangen.
SveinR offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 327
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Gjest » 06/05-2020 14:25

SveinR skrev:Hei, feilen ligger mellom "slik at" og "som gir", hvor du har en fortegnsfeil. Med korrekt utregning av fortegn ender vi her med den fine likningen

$0 = 0$,

som iblant kan skje ved denne teknikken (altså delvis integrasjon to ganger), om man har litt uflaks.

Prøv å løse den på nytt, men for "delvis nummer 2", velg motsatt $u'$ og $v$ enn du gjorde denne gangen.


ser det nå, er det noen tips til å unngå at man havner med [tex]0=0[/tex] ? dvs. velger riktig [tex]u'[/tex] og [tex]v[/tex] fra initielt?
Gjest offline

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Aleks855 » 06/05-2020 14:38

Integrasjon er morsomt i den forstand at selv om vi er gitt noen regneregler, så er det ikke alltid slik at man MÅ bruke den ene eller den andre.

Det å velge riktig $u'$ og $v$ her, er ikke så viktig, fordi selv om du hadde stokket det om, så skulle du fremdeles kunne havne på riktig plass, fordi $e^x$ og $\sin x$ sirkulerer i sine deriverte.

Prøv denne: $\int x^2\sin(x)\mathrm dx$. Vi kan bruke delvis her også, med samme tankegang som du har hatt, men $x^2$ sirkulerer ikke i sine deriverte. Hvordan ville du valgt $u'$ og $v$ her?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6351
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Gjest » 06/05-2020 14:54

Aleks855 skrev:Integrasjon er morsomt i den forstand at selv om vi er gitt noen regneregler, så er det ikke alltid slik at man MÅ bruke den ene eller den andre.

Det å velge riktig $u'$ og $v$ her, er ikke så viktig, fordi selv om du hadde stokket det om, så skulle du fremdeles kunne havne på riktig plass, fordi $e^x$ og $\sin x$ sirkulerer i sine deriverte.

Prøv denne: $\int x^2\sin(x)\mathrm dx$. Vi kan bruke delvis her også, med samme tankegang som du har hatt, men $x^2$ sirkulerer ikke i sine deriverte. Hvordan ville du valgt $u'$ og $v$ her?


[tex]v=x^2. u'=sinx[/tex] ?

jeg legger merke til at det nesten alltid lønner seg til å ta trigonometriske funksjoner lik [tex]u'[/tex] og eksponentialfunksjoner/x-ledd lik [tex]v[/tex].
Gjest offline

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Janhaa » 06/05-2020 15:03

Aleks855 skrev:Integrasjon er morsomt i den forstand at selv om vi er gitt noen regneregler, så er det ikke alltid slik at man MÅ bruke den ene eller den andre.

Det å velge riktig $u'$ og $v$ her, er ikke så viktig, fordi selv om du hadde stokket det om, så skulle du fremdeles kunne havne på riktig plass, fordi $e^x$ og $\sin x$ sirkulerer i sine deriverte.

Prøv denne: $\int x^2\sin(x)\mathrm dx$. Vi kan bruke delvis her også, med samme tankegang som du har hatt, men $x^2$ sirkulerer ikke i sine deriverte. Hvordan ville du valgt $u'$ og $v$ her?


som en liten digresjon, er tabular IBP bra egnet for:

$\int x^2\sin(x)\mathrm dx$
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8152
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integrasjon til besvær

Innlegg Aleks855 » 06/05-2020 17:02

Gjest skrev:
Aleks855 skrev:Integrasjon er morsomt i den forstand at selv om vi er gitt noen regneregler, så er det ikke alltid slik at man MÅ bruke den ene eller den andre.

Det å velge riktig $u'$ og $v$ her, er ikke så viktig, fordi selv om du hadde stokket det om, så skulle du fremdeles kunne havne på riktig plass, fordi $e^x$ og $\sin x$ sirkulerer i sine deriverte.

Prøv denne: $\int x^2\sin(x)\mathrm dx$. Vi kan bruke delvis her også, med samme tankegang som du har hatt, men $x^2$ sirkulerer ikke i sine deriverte. Hvordan ville du valgt $u'$ og $v$ her?


[tex]v=x^2. u'=sinx[/tex] ?

jeg legger merke til at det nesten alltid lønner seg til å ta trigonometriske funksjoner lik [tex]u'[/tex] og eksponentialfunksjoner/x-ledd lik [tex]v[/tex].


Ja, noe i den duren. Men tenk på hvorfor, for eksempel $x^2$ er fin å ha som $v$. Hva skjer med $x^2$ når du deriverer det? Og hva skjer hvis du deriverer den to ganger?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6351
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 93 gjester