Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg turbobjørn » 03/05-2020 08:44

Hei!

Jeg prøver meg på 3.134) bak i boken (Sinus), men sliter litt med b).

Jeg fant ut at man kan løse denne ved å ta P(K union O)=P(K)+P(O)-P(K snitt O) (regel fra 1T), men lurer på om man egentlig kan/skal løse den på en annen måte.

Er det en annen måte? Jeg prøvde to måter som ikke ledet meg noe sted:
1) Det jeg har skrevet på første linje for b).
2) Finne tilfellene hvor ingen av dem bruker mer enn to timer og ta 1 minus dette. Her fikk jeg 0.92 som svar, mens fasit sier 0.87 (som også er hva 1T metoden gir meg).

Noen forslag?
Vedlegg
Screenshot 2020-05-03 at 09.35.18.png
Screenshot 2020-05-03 at 09.35.18.png (1.6 MiB) Vist 1008 ganger
Screenshot 2020-05-03 at 09.34.28.png
Screenshot 2020-05-03 at 09.34.28.png (4.23 MiB) Vist 1008 ganger
turbobjørn offline
Noether
Noether
Innlegg: 43
Registrert: 11/12-2017 19:28

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg josi » 03/05-2020 13:09

Den totale sannsynligheten for $P(O)$

$ = P(K) * P(O|K) + P(ikkeK) * P(O|ikke K)$,

$P(O|ikkeK) = \frac{P(O) - P(K) * P(O|K)}{P(ikkeK)}$

$= \frac{0.75 - 0.6 * 0.8}{0.4} = 0.675$,

$ P(ikkeO|ikkeK) = 1 - P(O|ikkeK) = 1 -0.675 = 0.325$

Sannsynligheten for at minst en av dem bruker mer enn to timer på

leksene er det samme som 1 - sannsynligheten for at ingen av dem

bruker mer enn to timer på leksene

$1 - P(ikkeK \cap ikkeO) = 1 - P(ikkeK) * P(ikkeO|ikkeK) $

$= 1 - 0.4 * 0.325 = 1 - 0.13 = 0.87$.
josi offline

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg turbobjørn » 05/05-2020 09:18

Hei og takk for svar. Jeg sliter veldig med å forstå meg på dette for jeg synes generelt sannsynlighet er det vanskeligste temaet. Så håper du (eller noen andre) kan hjelpe meg å oppklare dette litt videre. Er usikker på mye, så fint hvis dere som leser og har peiling kan bekrefte at jeg tenker riktig. :)

josi skrev:Den totale sannsynligheten for $P(O)$

$ = P(K) * P(O|K) + P(ikkeK) * P(O|ikke K)$,

$P(O|ikkeK) = \frac{P(O) - P(K) * P(O|K)}{P(ikkeK)}$

$= \frac{0.75 - 0.6 * 0.8}{0.4} = 0.675$

Sannsynligheten for at Ola bruker mer enn to timer på leksene er gitt ved to tilfeller.
1) Ola bruker mer enn to timer på leksene og Knut bruker mer enn to timer på leksene. [tex]P(O\cap K)[/tex].
2) Ola bruker mer enn to timer på leksene men Knut bruker ikke mer enn to timer på leksene. [tex]P(O\cap IkkeK)[/tex].
Og da blir den totale sannsynligheten

[tex]P(O)=P(O\cap K)+P(O\cap IkkeK)=P(K\cap O)+P(IkkeK\cap O)=P(K)*P(O|K)+P(IkkeK)*P(O|IkkeK)[/tex]

Men vi kjenner ikke [tex]P(O|IkkeK)[/tex], som er sannsynligheten for at Ole bruker mer enn to timer på leksene dersom vi vet at Knut ikke gjør det. Derfor snur du formelen slik at vi får et uttrykk for [tex]P(O|IkkeK)[/tex].

Men her sliter jeg litt. Jeg klarer ikke helt å skjønne hvorfor [tex]P(O|IkkeK)[/tex] ikke bare er [tex]1-P(O|K)=1-0,8=0,2[/tex]. Kan du prøve å forklare det?

josi skrev:$ P(ikkeO|ikkeK) = 1 - P(O|ikkeK) = 1 -0.675 = 0.325$

Kan man tenke følgende: Når vi har betingelsen at Knut ikke skal bruke mer enn to timer på leksene, så bruker ikke Knut mer enn to timer på leksene i 100% av tilfellene. I disse 100% tilfellene vil det være en del hvor Ola bruker mer enn to timer på leksene og en del hvor Ola ikke bruker mer enn to timer på leksene.
Dermed vil disse 100% av tilfellene bestå av to (ikke mindre, ikke flere scenarioer): [tex]100prosent=P(O|IkkeK)+P(IkkeO|IkkeK)[/tex]
Tenker jeg riktig her?

josi skrev:Sannsynligheten for at minst en av dem bruker mer enn to timer på

leksene er det samme som 1 - sannsynligheten for at ingen av dem

bruker mer enn to timer på leksene

$1 - P(ikkeK \cap ikkeO) = 1 - P(ikkeK) * P(ikkeO|ikkeK) $

$= 1 - 0.4 * 0.325 = 1 - 0.13 = 0.87$.

Har du et mer praktisk eksempel på hvorfor vi kan regne slik? Jeg vet ikke hvorfor, men jeg klarer ikke helt å forstå hvorfor dette vil gi "minst en av dem".
turbobjørn offline
Noether
Noether
Innlegg: 43
Registrert: 11/12-2017 19:28

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg Mattegjest » 05/05-2020 10:10

Prøver meg på eit fullstendig løysingforslag :

Innfører hendingane

K: Knut brukar meir enn to timar på leksene. P( K ) = 0.6 ( oppgitt )

O: Ola ………………………...…………………………. P( O ) = 0.75 ( oppgitt )

P( O gitt K ) = 0.8 ( oppgitt )

a) P( K [tex]\cap[/tex] O ) = P( O gitt K ) [tex]\cdot[/tex] P( K ) = 0.8 [tex]\cdot[/tex] 0.6 = 0.48

b) P( minst ein ) = P( K [tex]\cup[/tex] O ) = ( addisjonssetninga for konjunkte hendingar ) = P( K ) + P( O ) - P( K [tex]\cap[/tex] O ) = 0.6 + 0.75 - 0.8 = 0.55

c) Finn P( K gitt O )

Vi har at P(K gitt O ) * P( O ) = P( K [tex]\cap[/tex] O ) ( utrekna i a ) )

som gir

P( K gitt O ) = [tex]\frac{P(K\cap O)}{P(O)}[/tex] = [tex]\frac{0.48}{0.75}[/tex] = 0.64
Mattegjest offline

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg SveinR » 05/05-2020 10:24

turbobjørn skrev:Men vi kjenner ikke [tex]P(O|IkkeK)[/tex], som er sannsynligheten for at Ole bruker mer enn to timer på leksene dersom vi vet at Knut ikke gjør det. Derfor snur du formelen slik at vi får et uttrykk for [tex]P(O|IkkeK)[/tex].

Men her sliter jeg litt. Jeg klarer ikke helt å skjønne hvorfor [tex]P(O|ikkeK)[/tex] ikke bare er [tex]1-P(O|K)=1-0,8=0,2[/tex]. Kan du prøve å forklare det?

Når du setter opp denne utregningen, sier du egentlig at $P(O | ikkeK) + P(O | K) = 1$. La oss se om dette gir mening: Du sier altså at "sannsynligheten for at Ola bruker mer enn 2 timer hvis Knut bruker mindre", pluss "sannsynligheten for at Ola bruker mer enn 2 timer hvis Knut bruker mer", er 100 %. Men dette vet vi at ikke stemmer, for det er ikke 100 % sannsynlig at Ola bruker mer enn 2 timer.

Det som derimot er 100 % sannsynlig, er at Ola enten bruker mer enn 2 timer på leksene, eller mindre enn 2 timer. Derfor kan vi sette $P(O | ikkeK) + P(ikkeO | ikkeK) = 1$.


turbobjørn skrev:Har du et mer praktisk eksempel på hvorfor vi kan regne slik? Jeg vet ikke hvorfor, men jeg klarer ikke helt å forstå hvorfor dette vil gi "minst en av dem".

Vi kan alltid tenke på denne måten når vi skal ha "sannsynligheten for minst én". Fordi enten vil ingen av dem bruke over 2 timer på leksene, eller så vil minst én av dem bruke over 2 timer. Én av disse hendelsene vil med 100 % sikkehet inntreffe. Dermed har vi $P(ingen) + P(minst\,én) = 1 \Rightarrow P(minst\,én) = 1 - P(ingen)$.
SveinR offline
Jacobi
Jacobi
Innlegg: 310
Registrert: 22/05-2018 21:12

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg josi » 05/05-2020 12:51

Kan man tenke følgende: Når vi har betingelsen at Knut ikke skal bruke mer enn to timer på leksene, så bruker ikke Knut mer enn to timer på leksene i 100% av tilfellene. I disse 100% tilfellene vil det være en del hvor Ola bruker mer enn to timer på leksene og en del hvor Ola ikke bruker mer enn to timer på leksene.
Dermed vil disse 100% av tilfellene bestå av to (ikke mindre, ikke flere scenarioer): 100prosent=P(O|IkkeK)+P(IkkeO|IkkeK)

Tenker jeg riktig her?

Ja, så vidt jeg kan se. Det følger direkte fra et aksiom i sannsynlighetsteorien: $P(A) + P(\bar A) = 1$.
josi offline

Re: Sannsynlighetsoppgave av typen "finn minst en.."

Innlegg turbobjørn » 08/05-2020 20:52

Takk for gode svar, SveinR og Josi! Ga mening nå. :)
turbobjørn offline
Noether
Noether
Innlegg: 43
Registrert: 11/12-2017 19:28

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 29 gjester