Hei, har jobbet en del med uendelige rekker, og lært meg begreper som konvergering og divergering.
Lurte vertfall om man kunne si at en funksjons som ln(x^2+1) divergerer mot uendelig når x går mot uendelig.
Spørsmålet er egentlig om man kan brukte begrepet "divergering" i den sammenhengen, eller bare at den går mot uendelig liksom?
ln(x^2+1)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vi kan velge å kalle det divergens eller konvergens her også ja. Men det er mer vanlig når vi betrakter funksjoner som er kontinuerlig på det aktuelle området, å bruke det som kalles grenseverdier.
Spørsmålet ditt er det samme som å spørre "hva går $\ln(x^2 + 1)$ mot, når $x$ går mot $\infty$? Skrevet matematisk: $\lim\limits_{x \to \infty} \ln(x^2 + 1) = \ldots$
Her, siden $\ln(x)$ blir større og større, jo større $x$ blir, kan vi konkludere at det ikke finnes en øvre grense på hvor stor $\ln(x)$ kan bli. Tilsvarende for $\ln(x^2 + 1)$ som jo vil stige enda raskere.
Da sier vi at $\ln(x^2 + 1) \to \infty$, når $x \to \infty$. Man kan kalle det at $\ln(x^2 + 1)$ divergerer mot uendelig.
Spørsmålet ditt er det samme som å spørre "hva går $\ln(x^2 + 1)$ mot, når $x$ går mot $\infty$? Skrevet matematisk: $\lim\limits_{x \to \infty} \ln(x^2 + 1) = \ldots$
Her, siden $\ln(x)$ blir større og større, jo større $x$ blir, kan vi konkludere at det ikke finnes en øvre grense på hvor stor $\ln(x)$ kan bli. Tilsvarende for $\ln(x^2 + 1)$ som jo vil stige enda raskere.
Da sier vi at $\ln(x^2 + 1) \to \infty$, når $x \to \infty$. Man kan kalle det at $\ln(x^2 + 1)$ divergerer mot uendelig.
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Dette blir nok litt rart dersom vi skal være pedantiske (som matematikere gjerne liker å være).
Vi snakker gjerne om konvergens når det kommer til følger, for eksempel tallfølger
1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Også videre. Vi kan og selvsagt og ha funksjonsfølger
1, 1 + x, 1 + x + x^2, ...
For følger av tall kan vi si at følgen konvergerer eller divergerer. Altså at det $n$'te leddet i følgen kommer nærmere og nærmere en gitt verdi, oskillerer (hopper mellom to eller flere verdier), eller vokser kontinuerlig.
Grenseverdier derimot spytter ut en verdi, ett tall. Og ett tall kan ikke divergere eller konvergere. Så det å si at en grenseverdi konverger gir ikke mening. Igjen her er vi veldig pedantiske, og alle forstår hva du mener når du sier at en grenseverdi ikke konvergerer, men ja.
Det vi sier er at en grenseverdi enten eksisterer, eller ikke. Også gjør vi som Aleks og f.eks legger på at funksjonen vokser mot uendelig eller synker mot -uendelig.
Med fancy symbol sier man gjerne kort og greit at $f \to \infty$ når $x \to \infty$. Så slipper man alt det rotet her =p
Vi snakker gjerne om konvergens når det kommer til følger, for eksempel tallfølger
1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
Også videre. Vi kan og selvsagt og ha funksjonsfølger
1, 1 + x, 1 + x + x^2, ...
For følger av tall kan vi si at følgen konvergerer eller divergerer. Altså at det $n$'te leddet i følgen kommer nærmere og nærmere en gitt verdi, oskillerer (hopper mellom to eller flere verdier), eller vokser kontinuerlig.
Grenseverdier derimot spytter ut en verdi, ett tall. Og ett tall kan ikke divergere eller konvergere. Så det å si at en grenseverdi konverger gir ikke mening. Igjen her er vi veldig pedantiske, og alle forstår hva du mener når du sier at en grenseverdi ikke konvergerer, men ja.
Det vi sier er at en grenseverdi enten eksisterer, eller ikke. Også gjør vi som Aleks og f.eks legger på at funksjonen vokser mot uendelig eller synker mot -uendelig.
Med fancy symbol sier man gjerne kort og greit at $f \to \infty$ når $x \to \infty$. Så slipper man alt det rotet her =p
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk