Sinus R2 Oppgave 2.165

[AlexanderBerg]

Sliter veldig med en oppgave her.

"I trekanten ABC er vinkel A=30grader, vinkel B=45grader og siden A=a. Normalen fra C på AB skjærer AB i E. I denne oppgaven skal du regne med eksakte verdier."
a) Bestem AE, BC og AB uttryk ved a. Dette har jeg gjort: AE = a*√3/2, BC=a*√2/2, AB=a(1+√3)/2

b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn CD uttrykt ved a. Her har jeg da først tegnet den nye trekanten og deretter tatt AD=AB/cos30 = a(1+√3)/3. CD=AD-AC = CD=(a(1+√3)/3)-a=a(√3-2)/3

Svaret i facit er=a(√3-1)/4. Hvor er det jeg gjør feil?

c) Et kvardat KLMN er innskrevet i trekanten ABC. Hjørnene K og L ligger på siden AB, hjørnet M på BC og hjørnet N på AC. Finn siden i kvadratet uttrykt ved a. Her er jeg usikker på hvordan jeg skal angripe denne oppgaven?

På forhånd takk

[josi]

b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn CD uttrykt ved a. Her har jeg da først tegnet den nye trekanten og deretter tatt AD=AB/cos30 = a(1+√3)/3. CD=AD-AC = CD=(a(1+√3)/3)-a=a(√3-2)/3


$AD = AB * cos (30^0), AB = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1), AD = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1) * cos (30^0)$

$=\frac{a}{2}(\sqrt3 +1) * \frac12, CD = AD - AC = \frac{a}{4}(\sqrt3 +1) - a$

Hint til siste spørsmål:

$\triangle NMC \simeq \triangle ABC, \triangle AKN \simeq \triangle AEC$

[josi]

b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn CD uttrykt ved a. Her har jeg da først tegnet den nye trekanten og deretter tatt AD=AB/cos30 = a(1+√3)/3. CD=AD-AC = CD=(a(1+√3)/3)-a=a(√3-2)/3


$AD = AB * cos (30^0), AB = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1), AD = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1) * cos (30^0)$
Huff!
$cos(30^0) = \frac{\sqrt3}{2}, AD = \frac a2 * (\sqrt3 +1) * \frac{\sqrt3}{2} = \frac{a * \sqrt3}{4} * (\sqrt3 +1)$

Hint til siste spørsmål:

$\triangle NMC \simeq \triangle ABC, \triangle AKN \simeq \triangle AEC$

[Mattebruker]

Siste spørsmål: Finn sida ( x ) i kvadratet KLMN.

Registrerer at [tex]\bigtriangleup[/tex]LBM er likebeina med LB = LM = x

AK = AB - KB = AB - ( KL + LB ) = AB - 2x = [tex]\frac{a}{2}[/tex]( [tex]\sqrt{3}[/tex] + 1 ) - 2x

Finn x

AK * tan30 = KN = x " ekvivalent " ( a/2 ( rot( 3 ) +1 ) - 2x ) * 1/rot( 3 ) = x [tex]\Leftrightarrow[/tex]x = [tex]\frac{(\sqrt{3} - 1)a}{2}[/tex]

[AlexanderBerg]

b) Normalen fra B på AC skjærer forlengelsen av AC i D. Finn CD uttrykt ved a. Her har jeg da først tegnet den nye trekanten og deretter tatt AD=AB/cos30 = a(1+√3)/3. CD=AD-AC = CD=(a(1+√3)/3)-a=a(√3-2)/3


$AD = AB * cos (30^0), AB = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1), AD = \frac{a}{2}(\sqrt3 +1) * cos (30^0)$
Huff!
$cos(30^0) = \frac{\sqrt3}{2}, AD = \frac a2 * (\sqrt3 +1) * \frac{\sqrt3}{2} = \frac{a * \sqrt3}{4} * (\sqrt3 +1)$

Hint til siste spørsmål:

$\triangle NMC \simeq \triangle ABC, \triangle AKN \simeq \triangle AEC$

Er det noe veldig enkelt jeg ikke ser her, men hvordan kan AD=AB*cos30, burde det ikke bli AD = AB/cos30?

[josi]

Er det noe veldig enkelt jeg ikke ser her, men hvordan kan AD=AB*cos30, burde det ikke bli AD = AB/cos30?

I den rettvinklede trekanten $ABD $ står $BD$ normalt på $AD$ slik at $AB$ er hypotenusen. Vinkel $BAD = 30^0$. Da får vi: $AD = AB * cos(30^0)$.