Derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Fredque

Jeg skal derivere uttrykket: (2x^3*cos(x)+1)/5. Jeg brukte først brøkregelen og fikk uttrykket: (2x^3*cos(x))/25. Så brukte jeg produktet regelen og fikk det endelige svaret (2x^2(3cos(x)-x*six(x))/25. Fasit fikk akkurat det samme svaret i teller, men 5 istedenfor 25 i nevner. Dette indikerer at de ikke har opphøyd nevneren i andre, slik man skal gjøre for brøkregelen. Hva har jeg gjort feil?
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Du ønsker altså å derivere
$\frac{2x^3\cdot\cos(x)+1}{5}$

Om du skal bruke brøkregelen her (det er det egentlig ingen grunn til siden nevneren kun er en konstant, men la gå - jeg viser alternativ metode til slutt), så sier den at $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Her er da $u = 2x^3\cdot\cos(x)+1$ og $v = 5$.
Da er $u' = 6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x)$ og $v' = 0$.

Vi får da:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left(6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x)\right)\cdot 5 - \left(2x^3\cdot\cos(x)+1\right) \cdot 0}{5^2} = \frac{\left(6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x)\right)\cdot 5}{5^2}$

Her kan vi se at vi kan forkorte $5$ i telleren mot $5$ i nevneren, og ender opp med:

$\frac{6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x)}{5} = \frac{2x^2\left(3\cdot\cos(x) - x\cdot\sin(x)\right)}{5}$

som er svaret i fasiten.


NB: Siden nevneren kun er en konstant, kan vi slippe unna med mye regning siden det da ikke er noen grunn til å bruke brøkregelen. For å lettere se det kan vi skrive om det opprinnelige uttrykket litt:
$\frac{2x^3\cdot\cos(x)+1}{5} = \frac{1}{5}\left(2x^3\cdot\cos(x)+1\right)$

Dette er kun en konstant ganger en funksjon, og da holder det å derivere funksjonen. Akkurat som når vi deriverer f.eks. $2x^3$ og får $2\cdot 3x^2$.

Så her får vi da at den deriverte blir: $\frac{1}{5}\left( 6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x) +0\right) = \frac{1}{5}\left( 6x^2\cdot\cos(x) - 2x^3\cdot\sin(x)\right)$
som videre kan skrives om til samme formen som svaret over.
Svar