matematikk.net

Hei! Jeg sliter med oppgave 7.43 b):

Ei 4 dm høy kjegle rommer 10 L vann. Kjegla står med spissen ned. Vi stikker et lite hull i spissen slikt at vannet renner sakte ut. Etter 31 minutter er vannhøyden 1 dm. La y være vannhøyden t minutter etter at vi stakk hull i kjegla. Vekstfarten til y er gitt ved: y^2 * y' = -k * √y

Jeg klarte å finne et uttrykk for vannhøyden:

Men jeg skjønner ikke hvorfor de løser oppgaven på denne måten:



Kan man ikke bare sette t = 16 og så løse oppgaven? Og siden de løser oppgaven via volum, hvorfor deler de to volumer på hverandre?

Hadde vært fint hvis dere kunne forklare utfyllende så jeg slipper å spørre 100 ganger. Det er tankegangen jeg ikke skjønner!

Kan man ikke bare sette t = 16 og så løse oppgaven? Og siden de løser oppgaven via volum, hvorfor deler de to volumer på hverandre?

Hvis du setter inn $t = 16$ i formelen, får du høyden på vannsøylen etter $16$ minutter. Men oppgaven spør vel etter volumet? For å finne det, må du bestemme radien $r$ i grunnflaten til den omvendte kjeglen som har denne høyden. Det er der formlike trekanter kommer inn i bildet:
$ \frac{r}{r_k} = \frac{h}{h_k} => r = \frac{r_k * h}{h_k}$
$V = \pi * r^2 * h *\frac{1}{3} = \pi * ({\frac{r_k * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$V_k = 10 = \frac{1}{3}*\pi *{r_k}^2 * h => r_k = \frac{30}{4 * \pi}$
$V = \pi * ({\frac{ \frac{30}{4 * \pi} * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$ = \pi * \frac{h^2}{{h_k }^2 *4*\pi} * h *10 $
$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^2}{64} *10 \approx 4.35$

$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^2}{64} *10 \approx 4.35$
Siste linje skal være:
$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^6}{64} *10 \approx 4.35$

Også kjent som

$\frac{5}{\sqrt[5]{2}}$

josi skrev:Kan man ikke bare sette t = 16 og så løse oppgaven? Og siden de løser oppgaven via volum, hvorfor deler de to volumer på hverandre?

Hvis du setter inn $t = 16$ i formelen, får du høyden på vannsøylen etter $16$ minutter. Men oppgaven spør vel etter volumet? For å finne det, må du bestemme radien $r$ i grunnflaten til den omvendte kjeglen som har denne høyden. Det er der formlike trekanter kommer inn i bildet:
$ \frac{r}{r_k} = \frac{h}{h_k} => r = \frac{r_k * h}{h_k}$
$V = \pi * r^2 * h *\frac{1}{3} = \pi * ({\frac{r_k * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$V_k = 10 = \frac{1}{3}*\pi *{r_k}^2 * h => r_k = \frac{30}{4 * \pi}$
$V = \pi * ({\frac{ \frac{30}{4 * \pi} * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$ = \pi * \frac{h^2}{{h_k }^2 *4*\pi} * h *10 $
$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^2}{64} *10 \approx 4.35$

Tusen takk, da fikk jeg det til! Tanken om formlikhet slo meg ikke inn.

josi skrev:Kan man ikke bare sette t = 16 og så løse oppgaven? Og siden de løser oppgaven via volum, hvorfor deler de to volumer på hverandre?

Hvis du setter inn $t = 16$ i formelen, får du høyden på vannsøylen etter $16$ minutter. Men oppgaven spør vel etter volumet? For å finne det, må du bestemme radien $r$ i grunnflaten til den omvendte kjeglen som har denne høyden. Det er der formlike trekanter kommer inn i bildet:
$ \frac{r}{r_k} = \frac{h}{h_k} => r = \frac{r_k * h}{h_k}$
$V = \pi * r^2 * h *\frac{1}{3} = \pi * ({\frac{r_k * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$V_k = 10 = \frac{1}{3}*\pi *{r_k}^2 * h => r_k = \frac{30}{4 * \pi}$
$V = \pi * ({\frac{ \frac{30}{4 * \pi} * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$ = \pi * \frac{h^2}{{h_k }^2 *4*\pi} * h *10 $
$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^2}{64} *10 \approx 4.35$

Kan du også hjelpe meg med den siste deloppgaven?

Den spør "hvor lang tid har det gått når vannmengden er 5 L?"

Det er sånn de har løst det i fasiten:



Men jeg skjønner egentlig ikke noe av den. Forrige oppgave løste du også på ulik måte enn fasiten, og jeg liker din metode bedre for det gir mer mening.

HB_20 skrev:

josi skrev:Kan man ikke bare sette t = 16 og så løse oppgaven? Og siden de løser oppgaven via volum, hvorfor deler de to volumer på hverandre?

Hvis du setter inn $t = 16$ i formelen, får du høyden på vannsøylen etter $16$ minutter. Men oppgaven spør vel etter volumet? For å finne det, må du bestemme radien $r$ i grunnflaten til den omvendte kjeglen som har denne høyden. Det er der formlike trekanter kommer inn i bildet:
$ \frac{r}{r_k} = \frac{h}{h_k} => r = \frac{r_k * h}{h_k}$
$V = \pi * r^2 * h *\frac{1}{3} = \pi * ({\frac{r_k * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$V_k = 10 = \frac{1}{3}*\pi *{r_k}^2 * h => r_k = \frac{30}{4 * \pi}$
$V = \pi * ({\frac{ \frac{30}{4 * \pi} * h}{h_k }})^2* h * \frac{1}{3}$
$ = \pi * \frac{h^2}{{h_k }^2 *4*\pi} * h *10 $
$ = \frac{\sqrt[5]{(32-16)}^2}{64} *10 \approx 4.35$

Kan du også hjelpe meg med den siste deloppgaven?

Den spør "hvor lang tid har det gått når vannmengden er 5 L?"

Det er sånn de har løst det i fasiten:




Men jeg skjønner egentlig ikke noe av den. Forrige oppgave løste du også på ulik måte enn fasiten, og jeg liker din metode bedre for det gir mer mening.

Igjen kunne vi løse problemet ved å spørre: Hva er høyden og radien i en kjegle som har volum $ = 5l$ og som er formlik med beholderen?
Vi har nå p.g.a. formlikheten: $h = c *h_k, r = c * r_k$,
$v = \frac{1}{3} * \pi * r^2 * h = \frac{1}{3} * \pi * {r_k}^2 * h_k * c^3 =$
$10 * c^3 = 5, => c = \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$
$h = c * h_k = \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} * 4 = 2^{\frac{5}{6}}$

Så løser du likningen: $ \sqrt[5]{{(32 - t)}^2} = 2^{\frac{5}{6}}$