likninger med tre ukjente

[gamer32]

[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :

[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=0.6464[/tex]

[tex]Y=\left \{ 0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]

Jeg er rimelig sikker på at meningen er at tallet [tex]0.6464[/tex] egentlig er ment å være [tex]\frac{4-\sqrt{2}}{4}[/tex] (som er [tex]\approx 0.6464[/tex]), slik at vi ender opp med [tex]Y=1[/tex]. Og da blir resten av løsningen veldig grei.

såå det blir:

[tex]y=0.6464+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4-\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}=1[/tex]

dette kan jo ikke stemme fordi da blir

[tex]\frac{I}{II}=\frac{Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}{Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{Y-1.5}{1-Y}=\frac{1-1.5}{1-1}=\frac{-0.5}{0}[/tex]

[SveinR]

Ja, i så fall kan du ikke dele disse. Men du kan finne [tex]t_0[/tex] fra [tex]II[/tex] og til slutt finne [tex]Z[/tex] fra [tex]I[/tex].

[gamer32]

Ja, i så fall kan du ikke dele disse. Men du kan finne [tex]t_0[/tex] fra [tex]II[/tex] og til slutt finne [tex]Z[/tex] fra [tex]I[/tex].

men hvis jeg ikke kan dele uttrykkene på hverandre må vel det implisere at [tex]y \neq 1[/tex] fordi verdien av en variabel skal hver gjeldende til enhver tid i et uttrykk?

[SveinR]

Ja, men dette delestykket var ikke i det opprinnelige likningssettet. Det var noe du satt opp selv. Man kan ikke nødvendigvis dele to likninger på hverandre slik. F.eks. kan jeg lage et likningssett som

[tex]I: x - y = 2[/tex]
[tex]II: x + y = 0[/tex]

Disse likningene ser vi at ikke uten videre kan deles på hverandre, likefullt har likningssettet en løsning.

[gamer32]

Ja, men dette delestykket var ikke i det opprinnelige likningssettet. Det var noe du satt opp selv. Man kan ikke nødvendigvis dele to likninger på hverandre slik. F.eks. kan jeg lage et likningssett som

[tex]I: x - y = 2[/tex]
[tex]II: x + y = 0[/tex]

Disse likningene ser vi at ikke uten videre kan deles på hverandre, likefullt har likningssettet en løsning.

men hvis

[tex]I: x-y =2[/tex]
[tex]I: x = 2-y[/tex]

da kan jo ikke [tex]y[/tex] være 2, så derfor blir jeg forvirret på hvorfor man kan tillate oss å gi [tex]y=1[/tex]

[SveinR]

Ok, for å si det på en annen måte:

Når du setter opp delestykket hvor du får [tex]1-Y[/tex] i nevneren, så sier du samtidig at [tex]Y\neq 1[/tex]. Men denne begrensningen finnes ikke i det opprinnelige likningssettet - den kommer kun frem fordi du velger å dele på [tex]1-Y[/tex]. Altså det vi kaller å "miste en løsning" når man f.eks. løser en likning som [tex]x^2 = 2x[/tex] ved å dele på [tex]x[/tex].

[gamer32]

Ok, for å si det på en annen måte:

Når du setter opp delestykket hvor du får [tex]1-Y[/tex] i nevneren, så sier du samtidig at [tex]Y\neq 1[/tex]. Men denne begrensningen finnes ikke i det opprinnelige likningssettet - den kommer kun frem fordi du velger å dele på [tex]1-Y[/tex]. Altså det vi kaller å "miste en løsning" når man f.eks. løser en likning som [tex]x^2 = 2x[/tex] ved å dele på [tex]x[/tex].

takk for oppklaring




Jeg prøver igjen
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
STEG 0
Jeg starter med følgende uttrykk;

[tex]I[/tex]
[tex]Y+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1982-t_0 \right ) \right )=1.5[/tex]

[tex]II[/tex]
[tex]Y+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1984-t_0 \right ) \right )=1[/tex]

[tex]III[/tex]
[tex]Y+Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}\left ( 1985-t_0 \right ) \right )=0.6464[/tex]


Jeg omformulerer ved bruk av [tex]\cos(u-v) = \cos (u) \cos (v) + \sin (u) \sin(v)[/tex]

STEG 1

* [tex]I: Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=Y-1.5[/tex]

* [tex]II: Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=1-Y[/tex]

* [tex]III: Y+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}Z \sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=0.6464[/tex]

STEG 2

Nå bruker jeg at [tex]0.6464 \approx \frac{4-\sqrt{2}}{4}[/tex]


[tex]I[/tex] og [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex] :

[tex]Y+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( 1-Y \right )+\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( Y-1.5 \right )=\frac{4-\sqrt{2}}{4}[/tex]


[tex]Y=\left \{ \frac{4-\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right \}[/tex]

[tex]\boxed {Y=1}[/tex]

STEG 3

[tex]\cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\frac{1-Y}{Z}=\frac{0}{Z}=0\Rightarrow t_0=2+8n[/tex]

for [tex]n=0[/tex]

[tex]n=1 \Rightarrow \boxed {t_0 =2}[/tex]

STEG 3

Fra [tex]I[/tex] har vi

[tex]Z=\frac{Y-1.5}{\sin\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )}=\frac{1-1.5}{\sin \left ( \frac{\pi}{4}*2 \right )}=\frac{-0.5}{1}=-0.5[/tex]


[tex]\boxed Z = -0.5[/tex]



men nå sa oppgaven at [tex]Y,Z > 0[/tex], jeg ser virkelig ikke hvordan jeg hele tiden får feil? nå kan heller ikke [tex]t_0[/tex] bestemmes entydig da...

[Aleks855]

Med $Y=1$ får vi fra likning 2 at $$Z\cos(\frac\pi4t_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(\frac\pi4t_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad t_0 = 4n+2$$

[gamer32]

x]

[tex]\boxed {Y=1}[/tex]

STEG 3

[tex]\cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )\frac{1-Y}{Z}=\frac{0}{Z}=0\Rightarrow t_0=2+8n[/tex]

for [tex]n=0[/tex]

[tex]n=1 \Rightarrow \boxed {t_0 =2}[/tex]

lite skrivfeil av meg, det skal stå

[tex]\cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) = \frac{1-Y}{Z}[/tex]

[gamer32]

Med $Y=1$ får vi fra likning 2 at $$Z\cos(\frac\pi4t_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos(\frac\pi4t_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad t_0 = 4n+2$$

Hvordan det?

jeg får:

[tex]Z \cos \left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right )=0\Rightarrow \cos\left ( \frac{\pi}{4}t_0 \right ) = 0 \Rightarrow \frac{\pi}{4}t_0=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\Rightarrow t_0 =\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{4}}+\frac{2 \pi n}{\frac{\pi}{4}}=2+8 n[/tex]

?

[Aleks855]

$\frac{\pi}{4}t_0=\frac{\pi}{2}+\color{red}{2} \pi n$

2ern markert i rødt må revurderes, siden $\cos(x) = 0$ når $x=\pi/2$ og når $x =3\pi/2$.

Hvis du bare tar med hver hele rotasjon, så mister du halvparten av løsningene.

[gamer32]

$\frac{\pi}{4}t_0=\frac{\pi}{2}+\color{red}{2} \pi n$

2ern markert i rødt må revurderes, siden $\cos(x) = 0$ når $x=\pi/2$ og når $x =3\pi/2$.

Hvis du bare tar med hver hele rotasjon, så mister du halvparten av løsningene.

akkurat

så [tex]t_0=2+8\pi n \, \, \, \vee t_0 = 6+8n[/tex]

fordi [tex]\cos\left (\frac{\pi}{4}t_0 \right )= 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{4}t_0=\frac{\pi}{2}+2 \pi n \, \, \vee \frac{\pi}{4}t_0=\frac{3}{2}\pi+2\pi n[/tex]

men hvordan hjelper dette meg videre?

[tex]Y,Z >0[/tex] ifølge oppgaven

[Aleks855]

Tenk heller at du står på $\frac\pi2$ og går halvrotasjoner i stedet. Med andre ord, $\cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac\pi2 + n\pi$, så får du det som ett enkelt uttrykk.

Dette hjelper fordi hvis vi setter dette tilbake inn i første likning, sammen med at $Y=1$ så får vi en entydig verdi for $Z$. Eller, egentlig en $\pm$ entydig verdi, som sammen med kriteriet $Z>0$ vil gi en entydig verdi.

Ser du det? Du har gjort bra arbeid så langt.

[gamer32]

Tenk heller at du står på $\frac\pi2$ og går halvrotasjoner i stedet. Med andre ord, $\cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac\pi2 + n\pi$, så får du det som ett enkelt uttrykk.

Dette hjelper fordi hvis vi setter dette tilbake inn i første likning, sammen med at $Y=1$ så får vi en entydig verdi for $Z$. Eller, egentlig en $\pm$ entydig verdi, som sammen med kriteriet $Z>0$ vil gi en entydig verdi.

Ser du det? Du har gjort bra arbeid så langt.

ikke helt

hva er motivasjonen bak å bruke [tex]\npi[/tex] når både [tex]\cos (x)[/tex] og [tex]\sin (x)[/tex] har en periode på [tex]2 \pi n[/tex]?

[Aleks855]

De har en periode på $2\pi$, men de treffer 0 to ganger per periode. Eller hver halve periode.

Det samme gjelder sinusfunksjonen. Hvis du starter med en vinkel på $0$, og går en halv rotasjon til en vinkel på $\pi$, så er $\sin(x) = 0$ der også.

$\cos(x) = 0$ når $x = \frac\pi2, \ \frac{3\pi}2, \ \frac{5\pi}2, \ldots$ eller med andre ord når $x = \frac\pi2 + n \pi$.