vektorar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

vektorar

Innlegg geil » 19/03-2020 11:50

Hei!
Planet α er gitt ved likninga
2x + 6y + 9z – 18 = 0

Punkt A (9,0,0), B (0,3,0) og C (0,0,2)

e) Rekn ut arealet av trekanten ABC.

(AB) ⃗ = [0 - 9, 3 - 0, 0 - 0] = [ - 9, 3, 0]
(AC) ⃗ = [0 - 9, 0 - 0, 2 - 0] = [ - 9, 0, 2]

(AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 9, 3, 0] x [ - 9, 0, 2]

(_-9^(-9)) _( 0 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 2)^( 0 ) 〖⤨ 〗_(-9)^(-9) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 3) _( 2)^( 0)

[((3) · (2)) - (0) · (0)), (0) · (-9) - ((2) · (-9)), ((9) · (0)) – ((-9) · (3))]
[(6 - 0), (0 + 18), (0 + 27)] = [6, 18, 27] = 3 · [2, 6, 9]

T = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ | = 1/2 · |[6,18,27]| = 1/2 · √(6^2+ 18^2+ 27^2 ) = 1/2 · √(36+324+729)
= 1/2 · √1089 = 1/2 · 33 = 33/2 = 16,5

Står fast her på denne oppgåva Treng Hjelp.
Har funne arealet av Trekanten ABC og skal finne volumet til
tetraerderet ABCD, når D (3 + 3t, - 4t, 6 + 2t).
Sjå innformasjon nedafor og det eg har gjort, kjem ikkje i mål
Volumet skal bli V = 21

f) Eit punkt D er gitt ved koordinatane

D (3 + 3t, - 4t, 6 + 2t)

Rekn ut volumet av tetraederet ABCD

A (9, 0, 0)

(AD) ⃗ = [(3 + 3t) - 9, - 4t - 0, (6 + 2t) - 0] = [ - 6 + 3t, - 4t, 6 + 2t]

|(AD) ⃗ | = |[[ - 6 + 3t,- 4t,6 + 2t]|= √(〖( -6+3t)〗^2+〖( -4t)〗^2+〖(6+2t)〗^2 )
= √(36-36t + 9t^2 + 16t^2 + 36+24t+ 4t^2 ) = √(29t^2-12t+ 72)

V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(AD) ⃗ | = 1/6 · √1089 · ? = 21

g) Volumet i f er uavhengig av t. Kva fortel dette om den rette linja l gitt ved

l: {█(x=3+3t@y=-4t @z=6+2t )┤
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 19/03-2020 12:44

Hei,

Du skal ikke regne ut [tex]\begin{vmatrix} \overrightarrow{AD} \end{vmatrix}[/tex]

Alt før det har du gjort rett. Bra!

[tex]V(t)=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD} \end{vmatrix}[/tex]
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 460
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 19/03-2020 15:37

Takk
rota mellom å bruke vektorar til utrekning av areal/volum og rekne ut
avstand nytte den til utrekning.

NB! Teng litt forklaring til g)

g) Volumet i f er uavhengig av t. Kva fortel dette om den rette linja l gitt
ved

l: {█(x=3+3t@y=-4t @z=6+2t )┤


Ser på geogebra at linja og planet er parallelle og

(n_α ) ⃗ ∥ (r_l ) ⃗ ⇔ (n_α ) ⃗ = t · (r_l ) ⃗

ser ikkje heilt korleis eg skal forklare dette.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 19/03-2020 15:48

Hei igjen,

Regn ut skalarproduktet av normalvektoren til planet, [tex]\overrightarrow{n_{\alpha }}[/tex], og retningsvektoren for linja, [tex]\overrightarrow{r_{l}}[/tex]

[tex]\overrightarrow{n_{\alpha }}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{r_{l}}[/tex]

Hvis du får null, kan du konkludere med at....?
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 460
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 19/03-2020 17:11

Takk igjen
Løysinga mi er då slik:

g) Volumet i f er uavhengig av t. Kva fortel dette om den rette linja l gitt ved

l: {█(x=3+3t@y=-4t @z=6+2t )┤

(n_α ) ⃗ = [2, 6, 9], r_l = [3, - 4, 6]

Når planet og linje er parallelle står vektorane vinkelrett på kvarandre og skalarproduktet av vektorane er null.

(n_α ) ⃗ ⏊ (r_l ) ⃗ ⇔ (n_α ) ⃗ · (r_l ) ⃗ = 0

(n_α ) ⃗ · (r_l ) ⃗ = [2, 6, 9] · [3, - 4, 2] = (2 · 3 + 6 · (- 4) + 9 · 2) = 6 - 24 + 18 = 24 – 24 = 0

Skalarproduktet er lik null og vektorane står vinkelrett på kvarandre og planet og linja er då parallelle.

NB! Korleis forklar vi at volumet av ABCD er uavhengig av t. T-verdien fell no bort i utrekninga. Kva vil skje visst ein set
inn ein t= 2 i linja l. Dette forstår eg ikkje heilt.
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 19/03-2020 17:20

Godt jobbet!

Volumet er uavhengig av t fordi linja er parallell med planet. Grunnflata i tetraederet ligger jo i planet og avstanden fra pkt D og ned til grunnflata er konstant. Dermed er høyden i tetraederet konstant og dermed volumet likeså. Om du setter inn t = 2 eller t = 5 for pkt D spiller ingen rolle. Prøv!
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 460
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorar

Innlegg geil » 19/03-2020 17:59

Takk for super hjelp.
Då kan ein seie at alle innsette verdiane av t gir løysing.

t = 3
1/6 · |[6,18,27] · [ - 6 + 3t,- 4t,6 + 2t]|
1/6 · |[6,18,27] · [ - 6 + 3 ·3,- 4 ·3,6 + 2 ·3]|
1/6 · |[6,18,27] · [3,- 12,12]| = (6 · 3 + 18 · ( - 12) + 27 · 12) = 1/6 · (18 – 216 + 324)
1/6 · 126 = 21
geil offline

Re: vektorar

Innlegg Kristian Saug » 19/03-2020 18:08

Korrekt! Godt jobbet. Nå har du blitt en god del klokere i rom-geometri i løpet av noen timer.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 460
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 271 gjester