matematikk.net

Her er ei Oppgåve 2.139 (Eksamen) R2 Sigma 2015.
Har løyst oppgåva nedafor, men her var det så mange dårleg formelerte del oppgåve at eg er svært usikker
på mine svar. Det er heller ikkje fasit på alle del oppgåvane. Har også fått andre svar enn det fasiten gir,
HÅPER NOKON KAN HJELPE MEG HER

Ein flygeleiar følgjer Flyet F på radaren. Kontrolltårnet er i origo, O. Posisjonen til flyet ved eit visst tidspunkt, t = 0, er gitt ved (OP) ⃗ = [15, 30, 6]. Alle avstandar er målte i kilometer. Farten er v ⃗ = [ - 210, - 50, 0]. Farten er konstant og blir målt i kilometer per time.

a) Vis at posisjonen til flyet etter 6 min er gitt ved vektoren [ - 6, 25, 6].

F: {█(x=-6-210t@y=25-50t @z=6 )┤

x = - 6 – 210 · 1/60 t y = 25 – 50 · 1/60 t z = 6
x = - 6 - 7/2 · 6 y = 25 – 5/6 · 6
x = - 12/2 - 42/2 = - 54/2 y = 25 – 5
x = - 27 y = 20

Flyet posisjon er ( - 27, 20, 6)

b) Forklar at posisjonen A etter t minutt er gitt ved

(OA) ⃗ = [15- 7/2 t,30- 5/6 t,6 ]

Vi gjer om frå timer til minutt 1h = 60 minutt ⇒ 1min = 1/60

(OA) ⃗ = [15 - 210 · 1/60-0,30 - 50 · 1/60-0 ,6 ]
(OA) ⃗ = [15 - 7/2 t,30- 5/6 t,6 ]

På same tidspunktet, t = 0 observerer flygeleiaren eit anna fly M på radarskjermen. Posisjonen er då gitt ved

(OQ) ⃗ = [- 30,- 15,- 5].

Farten til flyet M er konstant og gitt ved vektoren u ⃗ = [150, 250, 60]. Avstandane blir målte i kilometer og farten i kilomerter per time.

c) Finn posisjonen B til flyet M når det har gått t minutt sidan flygeleiaren observerte dei to flya på radaren.

M: {█(x=-30+150t@y=-15+250t@z=-5+60t )┤



(BM) ⃗ = [ - 30 + 150 · 1/60 t - 0, - 15 + 250 · 1/60 t - 0, - 5 + 60 · 1/60 t - 0]
(BM) ⃗ = [- 30 + 5/2 t, - 15 + · 25/6t, - 5 + t ]
B (- 30 + 5/2 t,- 15 + 25/6 t,- 5 + t )

d) Vis at (AB) ⃗ = [ - 45 + 6t, - 45 + 5t, - 1 + t].

(AB) ⃗ = [- 30 + 5/2 t -(15- 7/2 t) ,- 15 + 25/6 t - (30- 5/6 t) ,- 5 + t -6]
= [- 30-15 + 5/2 t+ 7/2 t ,- 15- 30 + 25/6 t+ 5/6,- 5 + t -6]
= [- 45 + 12/2 t,- 45+30/6 t,- 11+t]
= [- 45 + 6t,- 45+5t,- 11+t]

e) Kor lang tid går det før avstanden mellom dei to flya er minst?

(AB) ⃗ʹ (t) = [- 30 + 5/2 t, - 15 + 25/6t, - 5 + t ] = (5 · 3)/(2 · 3) + 25/6 + 6/6 = 46/6 = 7 min 40 s

e) Kor lang tid går det før avstanden mellom dei to flya er minst?

(AB) ⃗ʹ (t) = [- 30 + 5/2 t, - 15 + 25/6t, - 5 + t ] = (5 · 3)/(2 · 3) + 25/6 + 6/6 = 46/6 = 7 min 40 s

$\vec{AB}$ angir vektoren som forbinder posisjonene $A$ og $B$. Lengden av denne vektoren gir avstanden mellom de to flyene som en funksjon av tiden t. Derfor, lag et uttrykk for lengden av $\vec{AB}$, eller lettere, kvadratet av lengden, for da slipper du rottegn. Finn den t-verdien som minimerer denne funksjonen. Da finner du hvor lang tid det har gått før avstanden mellom de to flyene er minst.

Hei!
Rekna med at besvarelsen a-c var ok.
Her har eg prøvd meg igjen på d) og e)

d) Vis at (AB) ⃗ = [ - 45 + 6t, - 45 + 5t, - 1 + t].

I oppgåve teksta står det at z = - 1 + t mens eg får -11+ t
Står det feil i oppgåve teksta

(AB) ⃗ = [- 30 + 5/2 t -(15- 7/2 t) ,- 15 + 25/6 t - (30- 5/6 t) ,- 5 + t -6]
= [- 30-15 + 5/2 t+ 7/2 t ,- 15- 30 + 25/6 t+ 5/6,- 5 + t -6]
= [- 45 + 12/2 t,- 45+30/6 t,- 11+t]
= [- 45 + 6t,- 45+5t,- 11+t]

e) Kor lang tid går det før avstanden mellom dei to flya er minst?

|(AB) ⃗ | = |[- 45 + 6t,- 45 + 5t,- 11 + t ]|
= √((〖- 45+6t)〗^2+(〖- 45+5t)〗^2+ 〖(-11+t)〗^2 )
= √(2025-270t-270t + 36^2+2025-225t-225t+25^2+121-11t-11t+ t^2 )
= √(〖62t〗^2-1012t+4171)

|(AB) ⃗ |ʹ (t) = 124t - 1012
|(AB) ⃗ |ʹ = 0
124t – 1012 = 0
124t = 1012
t = 1012/124
t ≈ 8,2 min
I fasiten står det 8 min kva er riktig

|(AB) ⃗ | = |[- 45 + 6t,- 45 + 5t,- 11 + t ]|
= √((〖- 45+6t)〗^2+(〖- 45+5t)〗^2+ 〖(-11+t)〗^2 )
= √(2025-270t-270t + 36^2+2025-225t-225t+25^2+121-11t-11t+ t^2 )
= √(〖62t〗^2-1012t+4171)

|(AB) ⃗ |ʹ (t) = 124t - 1012
|(AB) ⃗ |ʹ = 0
124t – 1012 = 0
124t = 1012
t = 1012/124
t ≈ 8,2 min
I fasiten står det 8 min kva er riktig

Her har du glemt rottegnet i derivasjonen, selv om det her faktisk ikke får noen innvirkning på resultatet, da den deriverte skal settes lik null. Svaret skal være eksakt 8 min. Forskjellen skyldes nok at du har en sistekomponent i vektoren AB forskjellig fra oppgaveteksten som har $-1 + t$ der du har $-11 + t$.

Hei!
Då er det feil i oppgåve teksten Vektoren (OQ) ⃗ = [- 30,- 15,- 5] må då vere (OQ) ⃗ = [- 30,- 15, 5]. z-verdien må vere 5
ikkje - 5 som det står i oppgåvteksten.

På same tidspunktet, t = 0 observerer flygeleiaren eit anna fly M på radarskjermen. Posisjonen er då gitt ved

(OQ) ⃗ = [- 30,- 15,5].

Farten til flyet M er konstant og gitt ved vektoren u ⃗ = [150, 250, 60]. Avstandane blir målte i kilometer og farten i kilometer per time.

NÅR EG ENDRAR Z-VERDIEN TIL VEKTOREN OQ BLIR SVARET RIKTIG I BÅDE c) og D)
c) Finn posisjonen B til flyet M når det har gått t minutt sidan flygeleiaren observerte dei to flya på radaren.

M: {█(x=-30+150t@y=-15+250t@z=5+60t )┤


(BM) ⃗ = [ - 30 + 150 · 1/60 t, - 15 + 250 · 1/60 t, 5 + 60 · 1/60 t]
(BM) ⃗ = [- 30 + 5/2 t, - 15 + · 25/6t, 5 + t ]

B (- 30 + 5/2 t,- 15 + 25/6 t, 5 + t )

d) Vis at (AB) ⃗ = [ - 45 + 6t, - 45 + 5t, - 1 + t].

(AB) ⃗ = [- 30 + 5/2 t -(15- 7/2 t) ,- 15 + 25/6 t - (30- 5/6 t) ,5 + t -6]
= [- 30-15 + 5/2 t+ 7/2 t ,- 15- 30 + 25/6 t+ 5/6,5 +t -6]
= [- 45 + 12/2 t,- 45+30/6 t,- 1+t]
= [- 45 + 6t,- 45+5t,- 1+t]

e) Kor lang tid går det før avstanden mellom dei to flya er minst?

|(AB) ⃗ | = |[- 45 + 6t,- 45 + 5t,- 1 + t ]|
= √((〖- 45+6t)〗^2+(〖- 45+5t)〗^2+ 〖(-11+t)〗^2 )
= √(2025-270t-270t + 36^2+2025-225t-225t+25^2+121-1t-1t+ t^2 )
= √(〖62t〗^2-992t+4171)

|(AB) ⃗ |ʹ (t) = 124t - 9922
|(AB) ⃗ |ʹ = 0
124t – 992 = 0
124t = 992
t = 992/124
t ≈ 8

KONKLUDERER MED AT DET STÅR FEIL I OPPGÅVETEKSTEN

Hei!
Gløymte å rette opp derivasjon av rotuttrykket
Her er det gjort
f (x) = √x ⇒ fʹ (x) = 1/(2√x)

|(AB) ⃗ |ʹ (t) = 1/(2√(〖62t〗^2-992t+4171)) · (124t – 992)

|(AB) ⃗ |ʹ = 0
124t – 992 = 0
124t = 992
t = 992/124
t ≈ 8

(AB) ⃗ | = |[- 45 + 6t,- 45 + 5t,- 1 + t ]|
= √((〖- 45+6t)〗^2+(〖- 45+5t)〗^2+ 〖(-11+t)〗^2 )
= √(2025-270t-270t + 36^2+2025-225t-225t+25^2+121-1t-1t+ t^2 )
= √(〖62t〗^2-992t+4171)

|(AB) ⃗ |ʹ (t) = 124t - 9922
|(AB) ⃗ |ʹ = 0
124t – 992 = 0
124t = 992
t = 992/124
t ≈ 8

KONKLUDERER MED AT DET STÅR FEIL I OPPGÅVETEKSTEN

Ok! Men legg merke til at du stadig vekk glemmer å ta hensyn til rottegnet når du deriverer dette uttrykket. Som jeg nevnte, får ikke dette konsekvenser for svaret da nevneren i den brøken som oppstår ved derivasjon av rotuttrykket elimineres når den deriverte settes lik null. Du får forøvrig lettere regning hvis du deriverer kvadratet av uttrykket for vektorlengden og bruker kjerneregelen i stedet for å kvadrerere ut.

$({|[-45 + 6t, -45 + 5t, -1 +t]|}^2)´ = 0$

$({(45 + 6t)}^2 + {(-45 + 5t)}^2 +{(-1 + t)}^2)´ = 0 $

$2 * (-45 + 6t) *6 + 2 * (-45 + 5t) * 5 + 2 * (-1 + t) = 0 $

$ -270 + 36t -225 + 25t -1 + t = 0$

$62t = 496$

$t = 8$