Hei!
Her er ei oppgåve som eg ikkje forstår-
Kan nokon hjelpe meg.
Eit plan skjer koordinatplana langs tre rette linjer
l_1: 2x + y – 2 = 0 z = 0
l_2: x + z – 1 = 0 y = 0
l_3: y + 2z – 2 = 0 x = 0
b) Finn likninga for planet α
a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
vektorar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Tips: Ut frå likningane kan vi lett finne tre punkt ( A , B og C ) i planet som ikkje ligg på ei rett linje.
Da er normalvektor
[tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] x [tex]\overrightarrow{AC}[/tex],...... o.s.v…...
Da er normalvektor
[tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] x [tex]\overrightarrow{AC}[/tex],...... o.s.v…...
Hei!
Her er heile oppgåva 2.131. R2 Sigma 2015.
Har løyst den slik og håper dette er greitt.
Oppgåve 2.131
Linja m er gitt i eit romkoordinatsystem ved
m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤
a) Rekn ut vinkelen mellom m og xz-planet.
|(r_m ) ⃗ | = |[2,1,-3]| = √(2^2+1^2+〖(-3)〗^2 ) = √(4+1+9) = √14
|(n_xz ) ⃗ | = |[0,1,0]| = √(0^2+1^2+0^2 ) = √(0+1+0) = √1 = 1
|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | = [2, 1, -3] · [0, 1, 0] = (2 · 0 + 1 · 1 + (- 3) · 0) = 0 + 1 + 0 = 1
cos ∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = ((r_m ) ⃗ · (n_xz ) ⃗)/(|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | ) = 1/(√14 · 1) = (1 · √14)/(√14 · √14 ) = 1/(14 ) √14 = 0,2673
cos – 1 (0,2673) ≈ 74,50°
∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = 90° - 74,5 = 15,5°
Eit plan skjer koordinatplana langs tre rette linjer
b) Finn likninga for planet α
l_1: 2x + y – 2 = 0 z = 0
2x + 0 – 2 = 0 y = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1
A (1, 0, 0)
l_2: x + z – 1 = 0 y = 0
x + z – 1 = 0 x = 0
0 + z – 1 = 0
z = 1
B (0, 0, 1)
l_3: y + 2z – 2 = 0 x = 0
y + 2z – 2 = 0 z = 0
y + 0 – 2 = 0
y = 2
C (0, 2, 0)
(AB) ⃗ = [0 - 1, 0 - 0 , 1 - 0] = [ - 1, 0, 1]
(AB) ⃗ = [0 - 1, 2 - 0 , 0 - 0] = [ - 1, 2, 0]
(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 1, 0, 1] x [ - 1, 2, 0]
(_-1^(-1)) _( 2 )^( 0 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_(-1)^(-1) 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _( 0)^( 1)
[((0) · (0)) - ((2) · (1)), ((1) · (-1) - ((0) · (-1)), ((-1) · (2)) – ((-1) · (0))]
[(0 - 2), (-1 - 0), (- 2 - 0)] = [- 2, - 1. - 2] = - 1 [2, 1, 2]
A = (1, 0, 0)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]
a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
- 2(x - 1) - 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0
- 2x + 2 - y - 0 - 2z - 0 = 0 │· (- 1)
2x + y + 2z – 2 = 0
α: 2x + y + 2z – 2 = 0
Eit anna plan β har likninga x - y = 0
c) Gi ei parameterframstilling av skjeringslinja n og mellom α og β.
α: 2x + y + 2z – 2 = 0
β x - y = 0
Vi vel å sette x = 0 og løyser likningssettet
n: {█(α:2x+y+2z-2=0@β:x-y=0 )┤
I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤
I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤
I + II α: 2z – 2 = 0 0-y=0 x = 0
2z = 2 y = 0
z = 2/2
z = 1
N_0 = (0, 0, 1)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]
(n_β ) ⃗ = [1, - 1, 0]
(v_n ) ⃗ = (n_α ) ⃗ x (n_β ) ⃗ = [2, 1, 2] x [1, - 1, 0]
(_1^2) _(-1 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 2 ) 〖⤨ 〗_1^2 〖⤨ 〗_(-1 )^( 1) _( 0)^( 2)
[((1) · (0)) - ((-1) · (2)), ((2) · (1) - ((0) · (2)), ((2) · (-1)) – ((1) · (1))]
[(0 + 2), (2 - 0), (- 2 - 1)] = [2, 2, - 3]
n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤
d) Rekn ut skjeringspunktet mellom n og xy-planet.
Skjeringspunktet med xy-planet er z = 0 og set inn i parameterframstillinga for linja n.
z = 1 – 3t
0 = 1 – 3t
3t = 1
t = 1/3
x = 2t y = 2t z = 0
x = 2 · 1/3 y = 2 · 1/3
x = 2/3 y = 2/3
S (2/3,2/3,0)
e) Rekn ut avstanden mellom m og n.
m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤ n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤
(n_δ ) ⃗ = (n_m ) ⃗ x (n_n ) ⃗ = [2, 1, - 3] x [2, 2, - 3]
(_2^2) _( 2 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( -3 )^( -3 ) 〖⤨ 〗_2^2 〖⤨ 〗_( 2 )^( 1) _(-3)^(-3)
[((1) · (-3)) - ((2) · (-3)), ((-3) · (2) - ((-3) · (2)), ((2) · (2)) – ((2) · (1))]
[(- 3 + 6), ( - 6 + 6), (4 - 2)] = [3, 0, 2]
N_0 = (0, 0, 1)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]
δ: a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
3(x - 0) + 0(y -0) + 2(z -1) = 0
3x + 2z – 2 = 0
M_0 = (0, 2, - 2)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]
q = |3 · 0 + 0 · 2 + 2 · (-2) - 2|/√(3^2 + 0^2 + 2^2 ).= |0 + 0 - 4 - 2|/√(9 + 0 + 4) = |- 6|/√13 = 6/√13 ≈ 1,66
Her er heile oppgåva 2.131. R2 Sigma 2015.
Har løyst den slik og håper dette er greitt.
Oppgåve 2.131
Linja m er gitt i eit romkoordinatsystem ved
m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤
a) Rekn ut vinkelen mellom m og xz-planet.
|(r_m ) ⃗ | = |[2,1,-3]| = √(2^2+1^2+〖(-3)〗^2 ) = √(4+1+9) = √14
|(n_xz ) ⃗ | = |[0,1,0]| = √(0^2+1^2+0^2 ) = √(0+1+0) = √1 = 1
|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | = [2, 1, -3] · [0, 1, 0] = (2 · 0 + 1 · 1 + (- 3) · 0) = 0 + 1 + 0 = 1
cos ∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = ((r_m ) ⃗ · (n_xz ) ⃗)/(|(r_m ) ⃗ | · |(n_xz ) ⃗ | ) = 1/(√14 · 1) = (1 · √14)/(√14 · √14 ) = 1/(14 ) √14 = 0,2673
cos – 1 (0,2673) ≈ 74,50°
∠ ((r_m ) ⃗, (n_xz ) ⃗) = 90° - 74,5 = 15,5°
Eit plan skjer koordinatplana langs tre rette linjer
b) Finn likninga for planet α
l_1: 2x + y – 2 = 0 z = 0
2x + 0 – 2 = 0 y = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1
A (1, 0, 0)
l_2: x + z – 1 = 0 y = 0
x + z – 1 = 0 x = 0
0 + z – 1 = 0
z = 1
B (0, 0, 1)
l_3: y + 2z – 2 = 0 x = 0
y + 2z – 2 = 0 z = 0
y + 0 – 2 = 0
y = 2
C (0, 2, 0)
(AB) ⃗ = [0 - 1, 0 - 0 , 1 - 0] = [ - 1, 0, 1]
(AB) ⃗ = [0 - 1, 2 - 0 , 0 - 0] = [ - 1, 2, 0]
(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 1, 0, 1] x [ - 1, 2, 0]
(_-1^(-1)) _( 2 )^( 0 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_(-1)^(-1) 〖⤨ 〗_( 2 )^( 0) _( 0)^( 1)
[((0) · (0)) - ((2) · (1)), ((1) · (-1) - ((0) · (-1)), ((-1) · (2)) – ((-1) · (0))]
[(0 - 2), (-1 - 0), (- 2 - 0)] = [- 2, - 1. - 2] = - 1 [2, 1, 2]
A = (1, 0, 0)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]
a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
- 2(x - 1) - 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0
- 2x + 2 - y - 0 - 2z - 0 = 0 │· (- 1)
2x + y + 2z – 2 = 0
α: 2x + y + 2z – 2 = 0
Eit anna plan β har likninga x - y = 0
c) Gi ei parameterframstilling av skjeringslinja n og mellom α og β.
α: 2x + y + 2z – 2 = 0
β x - y = 0
Vi vel å sette x = 0 og løyser likningssettet
n: {█(α:2x+y+2z-2=0@β:x-y=0 )┤
I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤
I +II {█(α:2 · 0+y+2z-2=0@β:0-y=0 )┤
I + II α: 2z – 2 = 0 0-y=0 x = 0
2z = 2 y = 0
z = 2/2
z = 1
N_0 = (0, 0, 1)
(n_α ) ⃗ = [2, 1, 2]
(n_β ) ⃗ = [1, - 1, 0]
(v_n ) ⃗ = (n_α ) ⃗ x (n_β ) ⃗ = [2, 1, 2] x [1, - 1, 0]
(_1^2) _(-1 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 2 ) 〖⤨ 〗_1^2 〖⤨ 〗_(-1 )^( 1) _( 0)^( 2)
[((1) · (0)) - ((-1) · (2)), ((2) · (1) - ((0) · (2)), ((2) · (-1)) – ((1) · (1))]
[(0 + 2), (2 - 0), (- 2 - 1)] = [2, 2, - 3]
n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤
d) Rekn ut skjeringspunktet mellom n og xy-planet.
Skjeringspunktet med xy-planet er z = 0 og set inn i parameterframstillinga for linja n.
z = 1 – 3t
0 = 1 – 3t
3t = 1
t = 1/3
x = 2t y = 2t z = 0
x = 2 · 1/3 y = 2 · 1/3
x = 2/3 y = 2/3
S (2/3,2/3,0)
e) Rekn ut avstanden mellom m og n.
m: {█(x=2s @y=2+s @z=-2-3s)┤ n: {█(x=2t @y=2t @z=1-3t)┤
(n_δ ) ⃗ = (n_m ) ⃗ x (n_n ) ⃗ = [2, 1, - 3] x [2, 2, - 3]
(_2^2) _( 2 )^( 1 ) 〖⤨ 〗_( -3 )^( -3 ) 〖⤨ 〗_2^2 〖⤨ 〗_( 2 )^( 1) _(-3)^(-3)
[((1) · (-3)) - ((2) · (-3)), ((-3) · (2) - ((-3) · (2)), ((2) · (2)) – ((2) · (1))]
[(- 3 + 6), ( - 6 + 6), (4 - 2)] = [3, 0, 2]
N_0 = (0, 0, 1)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]
δ: a (〖x-x〗_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
3(x - 0) + 0(y -0) + 2(z -1) = 0
3x + 2z – 2 = 0
M_0 = (0, 2, - 2)
(n_δ ) ⃗ = [3, 0, 2]
q = |3 · 0 + 0 · 2 + 2 · (-2) - 2|/√(3^2 + 0^2 + 2^2 ).= |0 + 0 - 4 - 2|/√(9 + 0 + 4) = |- 6|/√13 = 6/√13 ≈ 1,66