Skjæringspunkt mellom to vektorer (Sinus R2 oppg. 4.137 c))

[yoghurtoth]

Sliter med følgende oppgave:

Punktene A(3,0,1), B(1,3,4) og C(5,1,0) er gitt.
I deloppgavene a) og b) fant jeg ut at M=(2,1,1) og N=(3,2,6).

c): Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom linjestykkene AN og CM.

Overser sikkert noe grunnleggende, men aner ikke hvordan jeg skal gå frem her. Har lett i læreboka etter eksempler på liknende oppgaver, men har ikke klart å finne noen.

edit: Har funnet [tex]\vec{AN}=[0,3,8][/tex] og [tex]\vec{CM}=[-3,0,1][/tex], men kommer ikke videre.



Hint og vink mottas med takk

[Kristian Saug]

Hei,

Med dine opplysninger er [tex]\overrightarrow{AN}=\begin{bmatrix} 0,2,5 \end{bmatrix}[/tex]

[yoghurtoth]

Takk for svar!

Hadde visst regnet feil på [tex]\vec{AN}[/tex],ja.

Har prøvd å regne videre, men kommer fortsatt ikke frem til riktig svar. Mitt forsøk:

[tex]s \cdot \vec{AN}=t \cdot \vec{CM}[/tex]

[tex]\Rightarrow [0, 2s, 5s]=[-3t, 0,t][/tex]

[tex]\Rightarrow 0=-3t \wedge 2s=0 \wedge 5s=t[/tex]

Ser ut som s=0 og t=0 er eneste løsning. Stemmer dette, og hvordan går jeg eventuelt videre?

[Kristian Saug]

Hei,

Riktig, disse to linjestykkene skjærer ikke hverandre. Så jeg tror du har funnet feil koordinater til punktene [tex]M[/tex] og [tex]N[/tex].

Kan du gjengi den komplette oppgaven fra og med a) ?

[yoghurtoth]

HAr prøvd å regne over igjen, og får nå N=(3,2,2), slik at [tex]\vec{AN}=[0,3,4][/tex] , men det hjelper jo ikke stort.

Hele oppgaven er som følger:

Punktene A(3,-1,-2), B(1,3,4) og C(5,1,0) er gitt.

a)Finn koordinatene til midtpunktet M på AB.

b)Finn koordinatene til midtpunktet N på BC

c)Finn koordinaten til skjæringspunktet S mellom linjestykkene AN og CM.

Løste a) og b) på følgende måte:

a) M midtpunkt på AB [tex]\Rightarrow \vec{AM}= \frac{1}{2}\vec{AB}= \frac{1}{2}[-2,4,6]=[-1,2,3][/tex]

[tex]\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}=[3,-1,-2]+[-1,2,3]=[2,1,1] \Rightarrow M=(2,1,1)[/tex]

b)N midtpunkt på BC [tex]\Rightarrow \vec{BN}=\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{1}{2}[4,-2,-4]=[2,-1,-2][/tex]

[tex]\vec{ON}=\vec{OB}+\vec{BN}=[1,3,4]+[2,-1,-2]=[3,2,2] \Rightarrow N=(3,2,2)[/tex]

[Kristian Saug]

Svar: Skjæringspunkt [tex]S(3,1,\frac{2}{3})[/tex]

[Kristian Saug]

Hei,

Vi parametriserer de to linjene:

[tex]l:\left\{\begin{matrix} x=3\\y=-1+3s \\z=-2+4s \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]m:\left\{\begin{matrix}x=5-3t \\y=1 \\z=t \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]l=m[/tex] gir

[tex]3=5-3t[/tex]
[tex]-1+3s=1[/tex]
[tex]-2+4s=t[/tex]

[tex]s=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]t=\frac{2}{3}[/tex]

og vi får skjæringspunktet

[tex]S(3,1,\frac{2}{3})[/tex]

[yoghurtoth]

Nå forstår jeg det bedre, mange takk!