Sinus R2, oppg. 2.196 c) (Trigonometrisk likning)

[yoghurtoth]

Har prøvd å løse følgende likning når [tex]x \in [0,2 \pi][/tex]:

[tex]2-2 \sin^2 x+4 \sin x \cos x =7 \cos^2 x[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2-2 \sin^2 x+4 \sin x \cos x-7 \cos^2 x=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2(\sin^2 x+2 \cos^2 x)-2 \sin^2 x +4 \sin x \cos x-7 \cos^2 x=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2 \sin^2 x+2 \cos^2 x-2 \sin^2 x+4 \sin x \cos x-7 \cos^2 x=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4 \sin x \cos x-5 \cos^2 x=0[/tex]

Deler på [tex]\cos^2 x[/tex]:

[tex]\Leftrightarrow 4 \tan x-5=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4 \tan x=5[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \tan x= \frac{5}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow x=0,90 \vee x=4,04[/tex]

Svarene jeg får, stemmer med fasiten, men i fasiten er også [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og[tex]\frac{3 \pi}{2}[/tex] oppgitt som løsninger.
Hvordan kommer man frem til dette? tanx er vel ikke definert for disse vinklene, siden cosx=0?

[Mattebruker]

4 sinx cosx - 5 cos[tex]^{2}[/tex]x = 0

MERK ! cosx er faktor i begge ledda på V. S. , dvs. vi kan faktorisere V. S. ved å setje cosx utafor ein parantes.

cosx ( 4 sinx - 5 cosx ) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] cosx = 0 [tex]\vee[/tex] 4 sonx -5 cosx = 0 ( jamfør produktregelen: a [tex]\cdot[/tex] b = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = 0 [tex]\vee[/tex] b = 0 )