verktorar

[geil]

Hei!
Her er oppgåve eg har løyst:
Trur det er riktig løyst, har fått fasitt svar.
Lurer likevel om det kunne vore gjort på andre måter.
Forstår ikkje kvifor eg får same svar i oppgåve b) når eg brukar vektorkoordinatane slik:

V = 1/6 |(A ⃗ x B ⃗ ) · C ⃗ | = 1/6 |([3,0, 0] x [0, 3, 0]) ·[0, 0, 5]| = 15/2

Sjå utrekningane heilt på slutten av oppgåve svaret.

Eit plan α er gitt ved likninga 5x + 5y + 3z – 15 = 0.
a) forklar korleis planet ligg i rommet.

LØYSING:
a) Vi finn skjeringspunkta med aksane:
x = y = 0 ⇒ 5 · 0 + 5 · 0 + 3z - 15 = 0 ⇒ 3z = 15 ⇒ z = 5
y = z = 0 ⇒ 5x + 5 · 0 + 3 · 0 - 15 = 0 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
x = z = 0 ⇒ 5 · 0 + 5y + 3 · 0 - 15 = 0 ⇒ 5y = 15 ⇒ y = 3
Planet går gjennom punkta A (3, 0, 0), B (0, 3, 0) og
C (0, 0, 5)

b) Finn volumet som er avgrensa av koordinatplana og α.

(AB) ⃗ = [0 – 3, 3 – 0, 0 - 0] = [- 3, 3, 0]
(AC) ⃗ = [0 – 3, 0 – 0, 5 - 0] = [- 3, 0, 5]

(AB) ⃗ x (AB) ⃗ = [-3,3, 0] x [-3, 0, 5]

(_-3^(-3)) _( 0)^( 3) 〖⤨ 〗_( 5 )^( 0) 〖⤨ 〗_( -3)^( -3) 〖⤨ 〗_( 0)^( 3) 〖 〗_( 5)^( 0)

[((3)·(5)) – ((0)·(0)), ((0)·(-3)) – ((5)·(-3)), ((-3)·(0)) – ((-3)·(3))]
= [(15 – 0), (0 – (-15)),(0 – (-9)] = [15, 15, 9].

(OA) ⃗ = [3 – 0, 0 – 0, 0 - 0] = [3, 0, 0]

V = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC) ⃗ ) · α ⃗ | = 1/6 |[15,15,9] ·[3,0,0]|
= 1/6 · |(15 · (3) + 15 · (0) + 9 · (0)| = 1/6 · |(45 +0+0|
= 1/6 · |45| = |45|/6 = 45/6 = (3 · 15)/6 = 15/2

c) Finn avstanden frå origo til planet.
Vi kan her bruke avstandsformelen. Alternativt kan vi bruke at volumet av pyramiden med
hjørne i dei tre skjeringspunkta og i origo er gitt ved 1/3 · G · h, der G er arealet av grunnflata
(altså trekanten avgrensa av dei tre skjeringspunkta), og h er høgda frå grunnflata til det siste
punktet, altså origo. Arealet av trekanten avgrensa av dei tre skjeringspunkta blir

Her bruker eg avstandsformelen til å finn avstanden frå origo til planet.

α: ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
q = |ax_1 + ay_1 + az_1 + d |/(√(a^2 + b^2 + c^2 ) )
α ⃗ = [a, b, c] = [5, 5, 3]
O (x_1, y_1, z_1) = [0, 0, 0]
q = |5 · 0 + 5 · 0 + 3 · 0 - 15|/(√(〖(5)〗^2 + 〖(5)〗^2 + 〖(3)〗^2 ) ) = (|- 15| )/√(25 + 25 + 9 ) = 15/√59 = (15 · √59)/(√5 9 · √5 9) = 15/59 √59 ≈ 1,95

Frå definisjonen av vektorproduktet har vi at arealet T av ein trekant er:

T = 1/2 · |[p ⃗ ] x [q ⃗]| Vi får då

G = 1/2 · |[-3,3, 0] x [-3, 0, 5]| = 1/2 · |[ 15,15,9]| = 1/2 · √(15^2+ 15^2+ 9^2 )
= 1/2 · √(225+ 225+ 81) = 1/2 · √531 = 1/2·√9·√59 = 1/2·3·√59 = 3/2·√59 ≈ 11,52



V = 1/3 G · h
h = (3 · V)/G = (3 · 15/2)/(3/2 · √59) = (3 · 15 · √59)/(3 · √59 · √59) = (15 · √59)/59 = 15/59 · √59 ≈ 1,95

Kan nokon forklare meg kvifor eg får rett svar med å bruke vektorkoordinatane slik:

V = 1/6 |(A ⃗ x B ⃗ ) · C ⃗ | = 1/6 |([3,0, 0] x [0, 3, 0]) ·[0, 0, 5]| = 15/2

(_0^3) _( 3)^( 0) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 0) 〖⤨ 〗_( 0)^( 3) 〖⤨ 〗_( 3)^( 0) 〖 〗_( 0)^( 0)

[((0)·(0)) – ((3)·(0)), ((0)·(0)) – ((0)·(3)), ((3)·(3)) – ((0)·(0))]
= [(0 – 0), (0 - 0),(9 - 0)] = [ 0, 0, 9].

1/6 |[ 0,0,9] ·[0, 0, 5]| = (0 · 0 + 0 · 0 + 9 · 5) = 1/6 · 45 = 45/6 = 15/2

[Kristian Saug]

Hei,

Du har gjort alt rett!

At du får riktig svar ved å bruke vektorregning

[tex]V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} (\vec{AB}\bigotimes \vec{AC})*\breve{\vec{AO}} \end{vmatrix}[/tex]

trenger du ikke tenke på!