Implisitt derivasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Oskaroskar
Noether
Noether
Innlegg: 28
Registrert: 24/09-2019 16:03

Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Jeg får dette.
Vedlegg
A7E7CCAF-7198-4A02-88AF-4DA13511E4E6.jpeg
A7E7CCAF-7198-4A02-88AF-4DA13511E4E6.jpeg (1.07 MiB) Vist 1179 ganger
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Dette kan vi vel og finne via formelen. Definer

$ \hspace{1cm}
R(x,y) = (xy + 1)^2 - g(x^2y)
$

Så det du har er altså

$\hspace{1cm}
R(x,y) = 0
$

La oss implisitt derivere denne likningen med hensyn på $x$. Her må vi bruke både kjerne og produktregelen.

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0
$

Ved å løse likningen over med hensyn på $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ så er

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x} \left/ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y} \right.
$

Det er denne formelen jeg syntes det er lettere og bruke / utlede når jeg har stygge uttrykk å bruke implisitt derivasjon på. Rett frem får vi nå

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y)
$

Mens den deriverte med hensyn på $y$ blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)
$

Slik at

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}
= - \frac{2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y) }{2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)}
= \frac{2y}{x} \cdot \frac{\phantom{2}(xy + 1) - x g'(x^2y) }{2 (xy + 1) - x g'(x^2y)}
$

Og å bekrefte / avkrefte at dette svaret er det samme som det emilga fikk overlater jeg til leser. Min ydmyke mening er hvertfall at dette er en enklere fremgangsmåte dersom man forstår hvorfor formelen fungerer, og hvordan den utledes.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
josi

Oskaroskar skrev:Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))
Problemet oppstår i overgangen mellom tredje og fjerde linje. Når du flytter over [tex]2x^2yy´+2xy´[/tex], så glemmer du å dele dette leddet på [tex]g´(x^2y)[/tex].
Svar