Volum

[UnicornSpaceship]

Hei, jeg jobber med en oppgave nå og jeg ender opp med samme svar som fasiten, men jeg brukte en mye lettere fremgangsmåte. Oppgaveteksten lyder som følgende:

Volum.PNG (64.94 kiB) Vist 2227 ganger

For å løse denne definerte jeg funksjonen og linja y=2 i CAS, og så fant jeg skjæringspunktet mellom dem. For å så finne volumet ganget jeg pi med integralet med f^2 som integrand, 0 som nedre integrasjongrense og x-verdien i skjæringspunktet som øvre integrasjonsgrense:

Volum_1.PNG (7.64 kiB) Vist 2227 ganger

Jeg får nøyaktig samme svar som fasiten, men er dette bare et slumpetreff, eller er det riktig å løse slike oppgaver på denne måten? Jeg så et løsningsforslag til oppgaven, men den fremgangsmåten var helt annereledes, og jeg forsto ikke helt hva det var man skulle gjøre, eller hvorfor man må gjøre det sånn. Er det noen der ute som ser en annen måte å løse oppgaven på og kan forklare hvorfor man kan løse den slik?

[Kay]

Framgangsmåten din er korrekt og kan brukes på slike oppgaver. Hvis vi tegner det geometrisk i geogebra så gir det nok mening hvorfor det må være sånn.



Vi prøver å finne volumet av legemet som oppstår når [tex]f(x)[/tex] dreies 360 grader om x-aksen. Har prøvd å illustrere "åpningen" på enden av legemet, og hvor den nødvendigvis må være hvis den er begrenset av linja [tex]y=2[/tex]. Har også tegnet det funksjonene som er symmetrisk speilet om x-aksen så det blir lettere å se hva det er du faktisk finner volumet av. Merk at åpningen egentlig vil være en rett linje fra vårt perspektiv, har bare gitt den en sirkulær åpning for å gi en illusjon av hvordan den vil se ut i tre dimensjoner.

Så da er det, som du gjør, logisk å finne ut når [tex]f(x)=2\Rightarrow x=e^2-1[/tex] og beregne [tex]\pi \int_a^b (f(x))^2dx[/tex] hvor [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] nødvendigvis må defineres av begrensningene til funksjonen, altså [tex]\pi \int_0^{e^2-1}(f(x))^2dx=\pi(2e^2-2)\approx 40.1[/tex]


Det kan komme oppgaver hvor [tex]f(x)=0[/tex] for en eller annen [tex]x\geq0[/tex] eller [tex]x\leq 0[/tex] og da forandres nedre integrasjonsgrense deretter.

[jos]

Oppgaven spør etter volumet av det rotasjonslegemet som dannes når flatestykket "..avgrenset av grafen til f, y-aksen og linja y = 2" dreies 360 grader om x-aksen. Her har vi det spesielle (skulle jeg mene) at volumet av dette legemet i dette tilfellet er eksakt likt volumet til det legemet som fremkommer ved å rotere f rundt x-aksen i området [0, e^2 - 1]. Det siste ser vi ved å merke oss at integralet av pi*f^2 i dette intervallet [0,e^2-1] , pi(2e^2 -2), er nøyaktig halvparten av volumet til sylinderen med radius 2 og høyde e^2-1: 4pi(e^2-1) = 2* pi(2e^2-2). Derfor vil metoden til UnicornSpaceship generelt gi galt resultat, selv om det ble riktig her. Volumet til rotasjonslegemet "under" funksjonen vil ikke generelt være det samme som rotasjonslegemet "over" funksjonen.

[Kay]

Skal det ikke stemme at integrasjon av en funksjon rotert rundt en eller annen akse parallell til x-aksen at uttrykket er gitt ved at man trekker fra volumet av et indre legeme fra et ytre, dvs. [tex]\pi \int_a^b R(x)dx=\pi\int_a^b|f(x)^2-g(x)^2|dx[/tex]? Hvis [tex]g(x)=0[/tex], f.eks. når man roterer rundt x-aksen, som er det man lærer på VGS, så reduseres uttrykket til [tex]V(x)=\pi \int_a^b f(x)^2[/tex]

[jos]

Jo, men i dette tilfelle har vi at f(x) = 2, og g(x) = ln(x+1).

[Kay]

Jo, men i dette tilfelle har vi at f(x) = 2, og g(x) = ln(x+1).

Herregud beklager, har lest oppgaven helt feil

[jos]

Det er lett å blingse! Men det spesielle her var at resultatet ble det samme, noe som fikk unicornSpaceship til å lure på om det var to metoder. Personlig er jeg skeptisk til bruk av CAS (som eksamenskrav) da det nettopp åpner for tastetrykking uten noen særlig forståelse for matematikken.