Integrasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
dahle-g@online.no

Hei! nokon som kan hjelpe meg

OPPGÅVE 15.90
I ein formelsamling finn vi følgjande ubestemte integral:

ʃ (√(x^(2 )+ a^2 )) dx = x/2 √(x^(2 )+ a^2 ) + a^2/2 ln│ x + √(x^(2 )+ a^2 )│ + C

a) Bruk dette integralet til å finne ʃ (√(x^(2 )+ 1)) dx

Vi brukar formelen i oppgåva og set inn a = 1, det gir

ʃ ((sqrt(x^(2 )+ 1^2 )) dx = x/2sqrt(x^(2 )+ a^2 ) + a^2/2 ln│ x + sqrt(x^(2 )+ a^2 )│ + C
ʃ ((sqrt (x^(2 )+ 1)) dx = x/2sqrt(x^(2 )+ 1) + 1/2 ln│ x +sqrt (x^(2 )+ 1)│ + C

Korleis kan eg Anti derivere ʃ sqrt(x^(2 )+ 1)) dx a = 0, b = 5 utan å bruke formelen i oppgåve a)
ʃ ((sqrt (x^(2 )+ 1)) dx

Har prøvd å løyse den på same måte som
ʃ 3x/\sqrt{x^{2} - 1} = ʃ 3x/\sqrt{x^{2} - 1} dx = ʃ 3x *{u^{-1/2}} du/2x = 3 \sqrt{x^{2} - 1}
Klarer ikkje dette utan hjelp
på forhand takk
Gjest

Har ingen god forklaring, men se: https://www.symbolab.com/solver/step-by ... D%2B1%7Ddx

Forhåpentligvis kommer noen som kan forklare...
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Vi ønsker å integrere $\mathcal{I}=\int \sqrt{x^2+1} \, \text{d}x$

Sett $x=\tan(u)$, dvs $u=\arctan(x)$. Da fås $\frac{\text{d}x}{\text{d}u} = \frac{1}{\cos^2(u)}$, så $$\mathcal{I}=\int \sqrt{x^2+1} \, \text{d}x = \int \sqrt{\tan^2(u) + 1} \frac{1}{\cos^2(u)} \, \text{d}u$$ Nå er $\tan^2(u)+1 = \frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)} + 1 = \frac{\sin^2(u)+\cos^2(u)}{\cos^2(u)} = \frac{1}{\cos^2(u)}$ så vi får at $$\mathcal{I}=\int \sqrt{\frac{1}{\cos^2(u)}} \frac{1}{\cos^2(u)} \, \text{d}u = \int \frac{1}{\cos^3(u)} \, \text{d}u$$ Bruk nå delvis integrasjon med $h=\frac{1}{\cos(u)}$ og $f'=\frac{1}{\cos^2(u)}$. Vi får da at $h'= \frac{\tan(u)}{\cos(u)}$ og $f=\tan(u)$, så $$\begin{alignat*}{2} \mathcal{I} &=\int \frac{1}{\cos^3(u)} \, \text{d}u \\ &= \frac{1}{\cos(u)} \tan(u) - \int \frac{\tan^2(u)}{\cos(u)} \, \text{d}u \\ &= \frac{\tan(u)}{\cos(u)} - \int \frac{\frac{1}{\cos^2(u)} - 1}{\cos(u)} \, \text{d}u \\ &= \frac{\tan(u)}{\cos(u)} - \int \frac{1}{\cos^3(u)} \, \text{d}u + \int \frac{1}{\cos(u)} \, \text{d}u \\ &= \frac{\tan(u)}{\cos(u)} - \mathcal{I} + \int \frac{1}{\cos(u)} \, \text{d}u \end{alignat*}$$ Dermed er $2\mathcal{I} = \frac{\tan(u)}{\cos(u)} + \int \frac{1}{\cos(u)} \, \text{d}u$. Klarer du nå resten selv? Jeg kan godt hjelpe, men hvis du vil prøve litt selv så kan du jo prøve herifra selv :)
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

Bare sånn for å illustrere hvorfor Markus kan gjøre følgende substitusjon kan du betrakte figuren nedenfor:

Bilde
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Alternativ 2 $x = \sinh(u)$, da er $1 + \sinh^2(x) = \cosh(x)^2$, og $\mathrm{d}x = \cosh(u) \,\mathrm{d}u$ slik at

$
\int \sqrt{1 + x^2}
= \int \sqrt{\sinh^2(u)} \sinh(u)\,\mathrm{d}u
= \int \cosh^2(u) \,\mathrm{d}u
= \frac{1}{2} \int 1 + \cosh(2u) \,\mathrm{d}u
= \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\sinh(u) \cosh(u) + C
$

Der det ble brukt at $\int \cosh 2u = \sinh(2u)/2$ og $\sinh(2u) = 2 \sinh(u) \cosh(u)$. Resten av arbeidet -- som blir å substituere tilbake -- overlater jeg til deg ;)
Om du lurer på hvorfor $\sqrt{\sinh(u)^2} = \left| \sinh u\right| = \sinh u$, er det fordi $\sinh u > 0$ for alle $u$.

Alternativ 3

Via delvis integrasjon har vi

$
\int \sqrt{1 + x^2} \,\mathrm{d}x
= x \sqrt{1 + x^2} - \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot x \,\mathrm{d}x
= x \sqrt{1 + x^2} - \int \frac{x^2 + 1}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x
= x \sqrt{1 + x^2} - \int \sqrt{1 + x^2} \,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \,\mathrm{d}x
$

Ved å løse likningen ovenfor med hensyn på $\int \sqrt{1 + x^2} \,\mathrm{d}x$ får vi

$
\int \sqrt{1 + x^2} \,\mathrm{d}x = \frac{x}{2} \sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 + x^2}}
$

Hvor det siste integralet er et standardintegral ved å enten slå opp i tabellen over standard integraler. Eller bruke substitusjonen $u = \cosh u$. Da vil du se at det siste integralet tilsvarer $\text{arcsinh}(x) = \log( x + \sqrt{ 1 + x^2} )/2$.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Svar