matematikk.net

Vi har differensiallikningen

[tex]y'+2xy=0[/tex]

Løser denne, og får til slutt at [tex]y=C \cdot e^{-x^2}[/tex], der [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex]

Ser også at [tex]y = 0[/tex] er en løsning, men fasiten sier at "denne løsningen blir her fanget opp av konstanten C, C=0."
Denne ser jeg ikke - for [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex], og dette uttrykket vil jo aldri kunne bli 0.

Jeg har ellers gjort helt likt løsningsforslaget, så hva er det jeg ikke skjønner?
Takk på forhånd!

[tex]y' = -2xy[/tex]
[tex]\int \frac{dy}{y}=-2\int x\,dx\\ \\ \ln(y)=-x^2+d\\ \\ y=c\cdot e^{-x^2}\\ \\ der\\ \\ c=e^d\\ \\[/tex]

c og d er konstanter

Ouka skrev:Vi har differensiallikningen

[tex]y'+2xy=0[/tex]

Løser denne, og får til slutt at [tex]y=C \cdot e^{-x^2}[/tex], der [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex]

Ser også at [tex]y = 0[/tex] er en løsning, men fasiten sier at "denne løsningen blir her fanget opp av konstanten C, C=0."
Denne ser jeg ikke - for [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex], og dette uttrykket vil jo aldri kunne bli 0.

Jeg har ellers gjort helt likt løsningsforslaget, så hva er det jeg ikke skjønner?
Takk på forhånd!

Det er nok noe du gjorde i den delen av utregninga du ikke posta. Jeg antar at du deler på $y$ når du separerer likninga, og dermed forsvinner løsninga $y=0$.

Det er riktig som Aleks855 skriver. Separasjon av denne likningen krever divisjon med $y$, hvilket implisitt antar at $y$ ikke er identisk lik null. Om du heller bruker en integrerende faktor slipper du dette problemet:
$$\begin{align*}
y' + 2xy & = 0 \\
y'e^{x^2} + 2xye^{x^2}& = 0 \\
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(ye^{x^2}\right) & = 0 \\
ye^{x^2} & = C,\hspace{2ex}\mbox{ en vilkårlig, reell konstant} \\
y & = Ce^{-x^2}.\end{align*}$$

Har ikke lært om integrerende faktorer så langt, så jeg følger bare måten boken gjør det på...

Slik er løsningsforslaget:



Jeg skjønner alt, bortsett fra siste linje. Når konstanten [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex], vil jo denne aldri kunne bli 0!

Ouka skrev:Slik er løsningsforslaget:

Jeg skjønner alt, bortsett fra siste linje. Når konstanten [tex]C=\pm e^{C_2-C_1}[/tex], vil jo denne aldri kunne bli 0!

Nei, dette er en misforståelse av den som skrev løsningsforslaget. Løsninga $y = 0$ forsvant i linje 3.