R1 geometri problem

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
omarelhajj97
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 03/10-2018 18:59

Hei. Jeg har i dag om kostruksjon, og det er en oppgave som jeg ikke klarer å løse. Oppgaven er 4.41 i Sinus R1 (2013):
I [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] er [tex]\angle A[/tex] = 90°, [tex]AB[/tex] = 8 cm og [tex]AC[/tex] = 6 cm.
a) Konstruer trekanten.
b) Konstruer normalen fra [tex]A[/tex] ned på [tex]BC[/tex].
c) Normalen i oppgave b skjærer [tex]BC[/tex] i punktet [tex]D[/tex]. Finn [tex]AD[/tex] ved regning.
Oppgaven frem til b) skal se slik ut:
31487628138_aeb7e271ee_z.jpg
31487628138_aeb7e271ee_z.jpg (63.92 kiB) Vist 2061 ganger
Jeg har sjekket løsningsforslaget, og det starter med at [tex]\bigtriangleup ABD\sim \bigtriangleup ABC[/tex] . Og det er akkurat dette steget som jeg ikke forstår. Hvordan kan jeg vite at de er formlike når jeg kjenner bare en vinkel ([tex]\angle CAB = \angle BDA[/tex]) og forholdet til en side ([tex]AB/BC=0.8[/tex])?

Jeg har tenkt at oppgaven kanskje antar at de er formlike, for så å verifisere at det faktisk er slik etter å ha funnet [tex]AD[/tex]. Men jeg vil være 100% sikkert så tenkte jeg å spørre her. Tusen takk for hjelpen :)
Gjest

Normalen fra A deler vinkelen i to. Disse vinklene er altså like. Der normalen treffer BC (i D) er det åpenbart 90 grader per definisjon av normalen. Disse vinklene er også like. Hvis to vinkler er like må den tredje vinkelen også være lik for de to trekantene da vinkelsummen er lik for begge. Hvis alle vinklene er like er trekantene formlike.
omarelhajj97
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 03/10-2018 18:59

Takk for svaret :)
Gjest skrev:Normalen fra A deler vinkelen i to. Disse vinklene er altså like.
Jeg tror ikke at dette er sant:
Schermata 2018-10-16 alle 17.37.56.png
Schermata 2018-10-16 alle 17.37.56.png (90.57 kiB) Vist 2011 ganger
Edit: og vinkelen som samsvarer [tex]\angle DAB[/tex] i [tex]\bigtriangleup ABC[/tex] er [tex]\angle ACB[/tex].
Merk også at det er ikke [tex]\bigtriangleup ABD[/tex] og [tex]\bigtriangleup ADC[/tex] det er snakk om. Oppgaven sier at
denne:
Schermata 2018-10-16 alle 17.49.58.png
Schermata 2018-10-16 alle 17.49.58.png (44.05 kiB) Vist 2005 ganger
og denne:
Schermata 2018-10-16 alle 17.50.21.png
Schermata 2018-10-16 alle 17.50.21.png (42.65 kiB) Vist 2005 ganger
skal være formlike.
Gjest

Ser at jeg sa det på en dårlig måte. Beklager det.
Vi vet at vinklene i D er 90. Dette betyr at du har 90 grader igjen for de resterende vinklene i hver trekant.
Summen av de to vinklene i A må også være 90 (fordi A var 90 før normalen kom)
La oss starte med å se på trekanten ABD. Hvis vinkelen i A er f.eks. 23 grader og D er 90 grader må vinkelen i B være 67 grader. Samtidig hvis vi nå ser på trekant ADC vil vinkelen i A være 90-23 grader = 67 grader og fordi D er 90 grader må C være 23 grader.

Altså har du 90 grader igjen for de to vinklene i hver trekant, men du vet også at trekantene deler de 90 gradene fra A.

Alternativt og mye lettere kan du si at vinkel B og CAD må være samsvarende fordi vinkelbeina står 90 grader på hverandre og det samme for C og ABD.
omarelhajj97
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 03/10-2018 18:59

Åja, jeg trodde at du prøvde å vise at [tex]\bigtriangleup ABD\sim \bigtriangleup ADC[/tex] eller noe slik...

Men nå dette gir mye mer mening, tusen takk for å ha avklart det så godt.

Gjest skrev:Alternativt og mye lettere kan du si at vinkel B og CAD må være samsvarende fordi vinkelbeina står 90 grader på hverandre og det samme for C og ABD.
Denne siste delen er kanskje lettere å si men det er også vanskeligere å forklare til seg selv hehe... Sikkert bare å tenke litt mer på det frem til hodet kobler alt sammen :)

Tusen takk igjen, jeg legger veldig stort pris på det :D
Gjest

ABD er også formlik med ABC.
Jeg tror du forstår det mye bedre hvis du bare ser på denne videoen istedenfor å høre på meg :)

https://youtu.be/99YjaduEruE?t=20

For å koke det ned. Begge trekanter har en felles vinkel B. Begge trekanter har en vinkel på 90 grader. Siden de har to vinkler som er like må også siste vinkel være lik og de er formlike.
omarelhajj97
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 03/10-2018 18:59

Gjest skrev:ABD er også formlik med ABC.
Jo jeg vet, det var bare en stor misforståelse :D

Videoen hjalp virkelig, tusen takk :)
Svar