Logaritme ulikhet fra R1

[Killi]

Kan noen hjelpe meg å løse denne?

(lnx-1)/((lnx)^2-2lnx) < 0

For de som har boken Matematikk R1 fra Aschehoug, så er dette oppgave 6d på kapitteltest.

[MuhammadMudassir786]

Kan noen hjelpe meg å løse denne?

(lnx-1)/((lnx)^2-2lnx) < 0

For de som har boken Matematikk R1 fra Aschehoug, så er dette oppgave 6d på kapitteltest.

Sett [tex]\:u=ln(x) \:[/tex]

Da har du:

[tex]\frac{u-1}{u^2 -2u}<0[/tex]

[tex]u-1<u^2 -2u[/tex]

[tex]u-1-u^2+2u<0[/tex]

[tex]-u^2+3u-1<0[/tex]

Altså har du en annengradslikning med to løsninger:

[tex]u=0.38 \: \vee u=2.61[/tex]

Setter tilbake [tex]\:u=lnx\:[/tex] og får:

[tex]ln (x) =0.38 \: \vee ln(x)=2.61[/tex]

Bruker at [tex]\: e^{ln(x)}=x \:[/tex]og får:

[tex]e^{ln(x)}=e^{0.38} \: \vee \: e^{ln(x)}=e^{2.61} \: \: \;[/tex]*opphøyer du på venstre side med "e", må du også opphøye med "e" på høyre side.

Da har du:
[tex]x=e^{0.38} \: \vee \: x=e^{2.61}[/tex]

Dette er to nullpunkter du nå kan markere på en fortegnsskjema. Deretter kan du svare på oppgaven ved å angi hvilken områder av funksjonen (grafen) er positiv (heltrukket linje); med andre ord, når funksjonen er større enn null [tex]\frac{lnx-1}{(lnx)^2-2lnx} < 0[/tex]

[DennisChristensen]

Som et alternativ til løsningen allerede gitt vil jeg si at det er langt enklere å faktorisere teller og nevner hver for seg og tegne fortegnslinjer direkte. Dette gjør også at vi tydelig ser om vi får løsninger som er ugyldige (gir $0$ i nevner).

Vi har ulikheten $$\frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2 - 2\ln x} < 0$$
som kan skrives som $$\frac{\ln x - 1}{\ln x \left( \ln x - 2 \right)} < 0$$

Vi tegner fortegnslinjer:

fortegnslinjer.jpg (379.14 kiB) Vist 1372 ganger

Derav svaret $x \in (0, 1) \cup (e, e^2).$

[Mattebruker]

Dennis : Trur du har gløymt definisjonsmengda til ln-funksjonen ( D[tex]_{ln}[/tex] = R[tex]_{+}[/tex] )

[DennisChristensen]

Dennis : Trur du har gløymt definisjonsmengda til ln-funksjonen ( D[tex]_{ln}[/tex] = R[tex]_{+}[/tex] )

Du har selvsagt helt rett, utrolig sløvt av meg å glemme. Har endret innlegget nå.