Har punktene A(-1,-2,-1), B(5,4,3), C(-1,4,2) og D(2,-1,0).
Planet alfa inneholder punktene A, B og C, og har likninga: x+3y-6z+1=0
Finn en parameterframstilling for skjæringslinja s mellom alfa og xy-planet.
Hvordan gjør jeg dette?
Parameterframstilling
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Skjæringslinjen mellom de to planene må være parallell med begge planene. Dette er ekvivalent med at skjæringslinjen står vinkelrett på normalvektoren til $xy$-planet og $\alpha$-planet.
Siden $\alpha$-planet er gitt ved $x+3y-6z+1=0$, er en normalvektor for planet $\vec{n}_{\alpha} = [1,3,-6]$
$xy$-planet er gitt ved $z=0$ og har normalvektor $\vec{n}_{xy} = [0,0,1]$
Siden vektorproduktet av to vektorer resulterer i en ny vektor som står vinkelrett på de to vektorene det ble tatt vektorproduktet av, vil $\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{xy}$ gi en vektor som står vinkelrett på både $xy$- og $\alpha$-planet. Denne vektoren kan brukes som retningsvektor i parameterframstillingen for linja $s$. Vi regner ut og får $$\vec{r}_s=\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{xy} = [1,3,-6] \cdot [0,0,1] = [3,-1,0]$$
For å finne et punkt på skjæringslinja, setter vi et koordinat likt $0$ i begge planlikningene, og løser likningssettet. La oss sette $x=0$, da fås $$\left\{\begin{matrix}
3y-6z=-1\\
z=0
\end{matrix}\right.$$
Likningssettet har løsnigene $y=-\frac13 \wedge z=0$
Totalt sett har vi nå funnet ut at $(0,-\frac13 ,0)$ ligger på skjæringslinjen, og at $\vec{r}_s = [3,-1,0]$ er en retningsvektor til linja $s$. Da kan linja parametriseres ved
$$s : \left\{\begin{matrix}
x=3t\\
y=-\frac13 -t\\
z=0
\end{matrix}\right.$$
Legg merke til at vi også kunne ha satt $y=0$ i letingen etter et punkt som ligger på skjæringslinjen, da hadde vi fått $x=-1,y=0,z=0$, så en annen gyldig parameterframstilling for linja er $$s: \left\{\begin{matrix}
x=-1+3t\\
y=-t\\
z=0
\end{matrix}\right.$$
Siden $\alpha$-planet er gitt ved $x+3y-6z+1=0$, er en normalvektor for planet $\vec{n}_{\alpha} = [1,3,-6]$
$xy$-planet er gitt ved $z=0$ og har normalvektor $\vec{n}_{xy} = [0,0,1]$
Siden vektorproduktet av to vektorer resulterer i en ny vektor som står vinkelrett på de to vektorene det ble tatt vektorproduktet av, vil $\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{xy}$ gi en vektor som står vinkelrett på både $xy$- og $\alpha$-planet. Denne vektoren kan brukes som retningsvektor i parameterframstillingen for linja $s$. Vi regner ut og får $$\vec{r}_s=\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{xy} = [1,3,-6] \cdot [0,0,1] = [3,-1,0]$$
For å finne et punkt på skjæringslinja, setter vi et koordinat likt $0$ i begge planlikningene, og løser likningssettet. La oss sette $x=0$, da fås $$\left\{\begin{matrix}
3y-6z=-1\\
z=0
\end{matrix}\right.$$
Likningssettet har løsnigene $y=-\frac13 \wedge z=0$
Totalt sett har vi nå funnet ut at $(0,-\frac13 ,0)$ ligger på skjæringslinjen, og at $\vec{r}_s = [3,-1,0]$ er en retningsvektor til linja $s$. Da kan linja parametriseres ved
$$s : \left\{\begin{matrix}
x=3t\\
y=-\frac13 -t\\
z=0
\end{matrix}\right.$$
Legg merke til at vi også kunne ha satt $y=0$ i letingen etter et punkt som ligger på skjæringslinjen, da hadde vi fått $x=-1,y=0,z=0$, så en annen gyldig parameterframstilling for linja er $$s: \left\{\begin{matrix}
x=-1+3t\\
y=-t\\
z=0
\end{matrix}\right.$$